【題目】如圖,在平面直角些標(biāo)系中,二次函數(shù)y=ax2+bx﹣的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(﹣1,0),C(2,0),與y軸交于點(diǎn)B,其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D.
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式及其頂點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)若P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接PD,求PB+PD的最小值;
(3)M(x,t)為拋物線對(duì)稱軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若平面內(nèi)存在點(diǎn)N,使得以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形,則這樣的點(diǎn)N共有 個(gè).
【答案】(1),拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為();(2)最小值為;(3)5個(gè)
【解析】
(1)將A、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax2+bx﹣,利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的表達(dá)式,進(jìn)而得到其頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)連接AB,作DH⊥AB于H,交OB于P,此時(shí)PB+PD最。钚≈稻褪蔷段DH,求出DH即可.
(3)當(dāng)以A,B,M,N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形時(shí),分三種情況:①以A為圓心AB為半徑畫(huà)弧與對(duì)稱軸有兩個(gè)交點(diǎn),此時(shí)AM=AB;②以B為圓心AB為半徑畫(huà)弧與對(duì)稱軸有兩個(gè)交點(diǎn),此時(shí)BM=AB;③線段AB的垂直平分線與對(duì)稱軸有一個(gè)交點(diǎn),此時(shí)AM=BM.由M點(diǎn)的個(gè)數(shù)則可得出點(diǎn)N的個(gè)數(shù)有5個(gè).
(1)∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(﹣1,0)C(2,0),
∴,
解得:,
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為,
∵y=,
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為();
(2)如圖,連接AB,作DH⊥AB于H,交OB于P,此時(shí)PB+PD最。
理由:∵OA=1,OB=,
∴,
∵,
∴∠ABO=30°,
∴PH=PB,
∴PB+PD=PH+PD=DH,
∴此時(shí)PB+PD最短(垂線段最短);
∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(),
∴,
∵∠ABO=30°,
∴∠HAD=60°,
在Rt△ADH中,∵∠AHD=90°,AD=,∠HAD=60°,
∴sin60°=,
∴DH=,
∴PB+PD的最小值為;
(3)①以A為圓心AB為半徑畫(huà)弧,因?yàn)?/span>AB>AD,故此時(shí)圓弧與對(duì)稱軸有兩個(gè)交點(diǎn),且AM=AB,即M點(diǎn)存在兩個(gè),所以滿足條件的N點(diǎn)有兩個(gè);
②以B為圓心AB為半徑畫(huà)弧,因?yàn)?/span>,故此時(shí)圓弧與對(duì)稱軸有兩個(gè)交點(diǎn),且BM=AB,即M點(diǎn)有兩個(gè),所以滿足條件的N點(diǎn)有兩個(gè);
③線段AB的垂直平分線與對(duì)稱軸有一個(gè)交點(diǎn),此時(shí)AM=BM,因?yàn)?/span>M點(diǎn)有一個(gè),所以滿足條件的N點(diǎn)有一個(gè);
則滿足條件的N點(diǎn)共有5個(gè),
故答案為:5.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,對(duì)稱軸為直線x=的拋物線經(jīng)過(guò)B(2,0)、C(0,4)兩點(diǎn),拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為A
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn),設(shè)四邊形COBP的面積為S,求S的最大值;
(3)如圖2,若M是線段BC上一動(dòng)點(diǎn),在x軸是否存在這樣的點(diǎn)Q,使△MQC為等腰三角形且△MQB為直角三角形?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,等腰△ABC中,底邊BC長(zhǎng)為8,腰長(zhǎng)為6,點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)B作AC的平行線與過(guò)A、B、D三點(diǎn)的圓交于點(diǎn)E,連接DE,則DE的最小值是___.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作AC的垂線交AC于點(diǎn)E,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.
(1)求證:DE與⊙O相切;
(2)若CD=BF,AE=3,求DF的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】列方程或方程組解應(yīng)用題:
去年暑期,某地由于暴雨導(dǎo)致電路中斷,該地供電局組織電工進(jìn)行搶修.供電局距離搶修工地15千米.搶修車裝載著所需材料先從供電局出發(fā),10分鐘后,電工乘吉普車從同一地點(diǎn)出發(fā),結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)搶修工地.已知吉普車速度是搶修車速度的1.5倍,求吉普車的速度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】矩形中,AB=8,BC=6,過(guò)對(duì)角線中點(diǎn)的直線分別交,邊于點(diǎn),.
(1)求證:四邊形是平行四邊形;
(2)當(dāng)四邊形是菱形時(shí),求的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】請(qǐng)閱讀下列解題過(guò)程:
解一元二次不等式:x2-3x>0.
解:x(x-3)>0,
∴或,
解得x>3或x<0.
∴一元二次不等式x2-3x>0的解集為x<0或x>3.
結(jié)合上述解題過(guò)程回答下列問(wèn)題:
(1)上述解題過(guò)程滲透的數(shù)學(xué)思想為 ;
(2)一元二次不等式x2-3x<0的解集為 ;
(3)請(qǐng)用類似的方法解一元二次不等式:x2-2x-3<0.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線y=x2+bx+c過(guò)點(diǎn)A(3, 0)、點(diǎn)B(0, 3).點(diǎn)M(m, 0)在線段OA上(與點(diǎn)A、O不重合),過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線與線段AB交于點(diǎn)P,與拋物線交于點(diǎn)Q,聯(lián)結(jié)BQ.
(1)求拋物線表達(dá)式;
(2)聯(lián)結(jié)OP,當(dāng)∠BOP=∠PBQ時(shí),求PQ的長(zhǎng)度;
(3)當(dāng)△PBQ為等腰三角形時(shí),求m的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線y=x+6與y軸交于點(diǎn)A,與x軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)E為線段AB的中點(diǎn),∠ABO的平分線BD與y軸相交于點(diǎn)D,A、C兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱.
(1)一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā),沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動(dòng)到直線BC上的點(diǎn)F,再沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D處.當(dāng)P的運(yùn)動(dòng)路徑最短時(shí),求此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)及點(diǎn)P所走最短路徑的長(zhǎng);
(2)點(diǎn)E沿直線y=3水平向右運(yùn)動(dòng)得點(diǎn)E',平面內(nèi)是否存在點(diǎn)M使得以D、B、M、E'為頂點(diǎn)的四邊形為菱形,若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)E′的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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