【題目】在菱形ABCD中,∠ABC=60°,點(diǎn)P是射線BD上一動點(diǎn),以AP為邊向右側(cè)作等邊APE,點(diǎn)E的位置隨著點(diǎn)P的位置變化而變化.

(1)探索發(fā)現(xiàn)

如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在菱形ABCD內(nèi)部時(shí),連接CE,BPCE的數(shù)量關(guān)系是_______,CEAD的位置關(guān)系是_______.

(2)歸納證明

證明2,當(dāng)點(diǎn)E在菱形ABCD外部時(shí),(1)中的結(jié)論是否還成立?若成立,請予以證明;若不成立,請說明理由.

(3)拓展應(yīng)用

如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在線段BD的延長線上時(shí),連接BE,若AB=5BE=13,請直接寫出線段DP的長.

【答案】(1)BP=CE,CEAD;(2)(1)中的結(jié)論仍成立.理由見解析; (3)PD=

【解析】

1)由菱形ABCD和∠ABC=60°可證△ABC與△ACD是等邊三角形,由等邊△APE可得AP=AE,∠PAE=BAC=60°,減去公共角∠PAC得∠BAP=CAE,根據(jù)SAS可證得△BAP≌△CAE,故有BP=CE,∠ABP=ACE.由菱形對角線平分一組對角可證∠ABP=30°,故∠ACE=30°CE平分∠ACD,由AC=CD等腰三角形三線合一可得CEAD
2)證明過程同(1).
3)由AB=5即△ABC為等邊三角形可求得BD的長.連接CE,由(2)可求∠BCE=90°,故在RtBCE中,由勾股定理可求CE的長.又由(2)可得BP=CE,由DP=BP-BD即求得DP的長.

解:(1) ∵菱形ABCD中,∠ABC=60°
AB=BC=CD=AD,∠ADC=ABC=60°
∴△ABC、△ACD是等邊三角形
AB=ACAC=CD,∠BAC=ACD=60°
∵△APE是等邊三角形
AP=AE,∠PAE=60°
∴∠BAC-PAC=PAE-PAC
即∠BAP=CAE
在△BAP與△CAE


∴△BAP≌△CAESAS
BP=CE,∠ABP=ACE
BD平分∠ABC
∴∠ACE=ABP=ABC=30°
CE平分∠ACD
CEAD
故答案為:BP=CECEAD;

(2)(1)中的結(jié)論仍成立,證明如下:

設(shè)ADCE交于點(diǎn)O

∵四邊形ABCD為菱形,且∠ABC=60°

∴△ABC為等邊三角形.

AB=AC,∠BAC=60°

∴∠BAP=CAE

又∵ΔAPE為等邊三角形

AP=AE

在△BAP與△CAE

∴△BAPΔCAE(SAS)

BP=CE

∴∠ACE=ABP=30°

又∵∠CAD=60°

A0C=90°

ADCE;

(3) 連接CE,設(shè)ACBD相交于點(diǎn)O


AB=5
BC=AC=AB=5
AO=AC=

BO=
BD=2BO=5
∵∠BCE=BCA+ACE=90°BE=13
CE= =12
由(2)可知,BP=CE=12
DP=BP-BD=12-5

故答案為:(1)BP=CE,CEAD;(2)(1)中的結(jié)論仍成立.理由見解析; (3)PD=

練習(xí)冊系列答案
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1)當(dāng)t為何值時(shí),四邊形ABQP是矩形;

2)當(dāng)t為何值時(shí),四邊形AQCP是菱形;

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(2)小明將正方形ABCD按如圖2那樣繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周,旋轉(zhuǎn)到當(dāng)點(diǎn)C恰好落在直線l上時(shí),請你直接寫出此時(shí)BE的長.

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(2)如圖,將圓形紙片沿著三角板的內(nèi)部邊緣滾動1周,回到起點(diǎn)位置時(shí)停止,若BC=9,圓形紙片的半徑為2,求圓心O運(yùn)動的路徑長.

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(2)若線段與線段關(guān)于軸對稱,請畫出線段.

(3)若點(diǎn)是此平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)四邊圍成的四邊形為平行四邊形 時(shí),請你直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)(寫出一個(gè)即可).

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1)填寫下表:

層數(shù)

1

2

3

4

5

6

該層對應(yīng)的點(diǎn)數(shù)

1

6

_____

18

_____

_____

2)寫出第n層所對應(yīng)的點(diǎn)數(shù)為_____

3)如果某一層共96個(gè)點(diǎn),那么它是第_____層,此時(shí)所有層中共有_____個(gè)點(diǎn).

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