【題目】如圖,已知ABC中,B=90°,AB=16cm,BC=12cm,P、Q是ABC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),其中點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿A→B方向運(yùn)動(dòng),且速度為每秒1cm,點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿B→C→A方向運(yùn)動(dòng),且速度為每秒2cm,它們同時(shí)出發(fā),設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒.

(1)出發(fā)2秒后,求PQ的長;

(2)當(dāng)點(diǎn)Q在邊BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),出發(fā)幾秒鐘后,PQB能形成等腰三角形?

(3)當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí),求能使BCQ成為等腰三角形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間.

【答案】(1)28;(2);(3)當(dāng)t11秒或12秒或13.2秒時(shí),△BCQ為等腰三角形

【解析】

(1)根據(jù)點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度求出AP,再求出BPBQ,用勾股定理求得PQ即可;

(2)設(shè)出發(fā)t秒鐘后,△PQB能形成等腰三角形,則BP=BQ,由BQ=2t,BP=8-t,列式求得t即可;

(3)當(dāng)點(diǎn)Q在邊CA上運(yùn)動(dòng)時(shí),能使△BCQ成為等腰三角形的運(yùn)動(dòng)時(shí)間有三種情況:

①當(dāng)CQ=BQ時(shí),則∠C=∠CBQ,可證明∠A=∠ABQ,則BQ=AQ,則CQ=AQ,從而求得t;

②當(dāng)CQ=BC時(shí),則BC+CQ=12,易求得t;

③當(dāng)BC=BQ時(shí),過B點(diǎn)作BE⊥AC于點(diǎn)E,則求出BE,CE,即可得出t.

:(1)BQ=2×2=4(cm),

BP=AB﹣AP=16﹣2×1=14(cm ),

∵∠B=90°,

SPBQ=;

(2)BQ=2t,BP=16﹣t,

根據(jù)題意得:2t=16﹣t,

解得:t=

即出發(fā)秒鐘后,△PQB能形成等腰三角形;

(3)①當(dāng)CQ=BQ時(shí),如圖1所示,

則∠C=CBQ,

∵∠ABC=90°,

∴∠CBQ+ABQ=90°.

A+C=90°,

∴∠A=ABQ,

BQ=AQ,

CQ=AQ=10,

BC+CQ=22,

t=22÷2=11秒.

②當(dāng)CQ=BC時(shí),如圖2所示,

BC+CQ=24,

t=24÷2=12秒.

③當(dāng)BC=BQ時(shí),如圖3所示,

B點(diǎn)作BEAC于點(diǎn)E,

BE==,

CE===,

CQ=2CE=14.4,

BC+CQ=26.4,

t=26.4÷2=13.2秒.

綜上所述:當(dāng)t11秒或12秒或13.2秒時(shí),△BCQ為等腰三角形.

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