Question

【題目】如圖，拋物線y= x2+bx+c經過A（﹣1，0），C（2，﹣3）兩點，與y軸交于點D，與x軸交于另一點B．

（1）求此拋物線的解析式及頂點坐標；
（2）若將此拋物線平移，使其頂點為點D，需如何平移？寫出平移后拋物線的解析式；
（3）過點P（m，0）作x軸的垂線（1≤m≤2），分別交平移前后的拋物線于點E，F，交直線OC于點G，求證：PF=EG．

Answer 1

【答案】
（1）解：把A（﹣1，0），C（2，﹣3）代入y= x2+bx+c，

得： ，解得： ，

∴拋物線的解析式為：y= x2﹣ x﹣2，

∵y= x2﹣ x﹣2= （x﹣ ）2﹣ ，

∴其頂點坐標為：（ ， ）

（2）解：∵y= x2﹣ x﹣2，

∴當x=0時，y=﹣2，

∴D點坐標為（0，﹣2）．

∵將點（ ， ）向左平移 個單位長度，再向上平移 個單位長度，可得到點D，

∴將y= x2﹣ x﹣2向左平移 個單位長度，再向上平移 個單位長度，頂點為點D，

此時平移后的拋物線解析式為：y= x2﹣2

（3）證明：設直線OC的解析式為y=kx，

∵C（2，﹣3），

∴2k=﹣3，解得k=﹣ ，

∴直線OC的解析式為y=﹣ x．

當x=m時，yF= m2﹣2，則PF=﹣（ m2﹣2）=2﹣ m2，

當x=m時，yE= m2﹣ m﹣2，yG= ，

則EG=yG﹣yE=2﹣ ，

∴PF=EG．

【解析】（1）將A、C坐標分別代入函數解析式，建立二元一次方程組，求出b、c的值，就可以求出此函數的頂點坐標；
（2）此題考查了二次函數的平移，平移后的圖像的頂點坐標D點坐標為（0，﹣2）．看得到平移后的函數解析式。圖像平移前頂點坐標為（ ，- ），將圖像平移就是將圖像上的對應點移，將點（ ，- ）向左平移個單位長度，再向上平移 個單位長度，可得到點D（0，﹣2），可得出結論；（3）根據題意可知PE垂直于x軸，可知P、F、G三點的縱坐標相等，設P（m,0），點F在拋物線∵y= x2﹣2上，所以點F（m, m2﹣2），就可以用含m的代數式表示出PF=0-（m2﹣2）=2-m2，點G在直線OC上，求出直線OC的函數解析式為y=﹣ x，所以就點G（m,-m）點E在拋物線y= x2﹣ x﹣2上，E（m, m2﹣ m﹣2）,可以用含m的代數式表示出FG=﹣ m-（m2﹣ m﹣2）=2-m2，可得PF=EG．
【考點精析】掌握確定一次函數的表達式和二次函數圖象的平移是解答本題的根本，需要知道確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法；平移步驟：（1）配方 y=a(x-h)2+k，確定頂點（h,k）（2）對x軸左加右減；對y軸上加下減．