Question

【題目】定義：在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)P繞點(diǎn)T(t，0)(1＞0)旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn)Q，則稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“發(fā)展點(diǎn)”．

(1)當(dāng)t=2時(shí)，點(diǎn)(0，0)的“發(fā)展點(diǎn)”坐標(biāo)為______，點(diǎn)(-1，-1)的“發(fā)展點(diǎn)”坐標(biāo)為______．

(2)若t＞3，則點(diǎn)(3，4)的“發(fā)展點(diǎn)”的橫坐標(biāo)為______(用含t的代數(shù)式表示)．

(3)若點(diǎn)P在直線y=2x+6上，其“發(fā)展點(diǎn)”Q在直線y=2x-8上，求點(diǎn)T的坐標(biāo)．

(4)點(diǎn)P(3，3)在拋物線y=-x2+k上，點(diǎn)M在這條拋物線上，點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“發(fā)展點(diǎn)”．若△PMQ是以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）（4，0），（5，1）；（2）2t-3；（3）點(diǎn)T的坐標(biāo)為（，0）；（4）t= 或t=7．

【解析】

（1）、（2）利用數(shù)形結(jié)合的思想和中心對(duì)稱的性質(zhì)求解；

（3）先確定直線y=2x+6與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），直線y=2x-8與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），利用“發(fā)展點(diǎn)”的定義列方程t-（-3）=4-t，然后解方程即可得到T點(diǎn)坐標(biāo)；

（4）先把（2，2）代入y=-x2+k中求出k得到拋物線解析式為y=-x2+6，利用點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“發(fā)展點(diǎn)”得到點(diǎn)T為PQ的中點(diǎn)，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到△PTM為等腰直角三角形，討論：當(dāng)0＜t≤2時(shí)，把P點(diǎn)繞T點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)M，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易得M（t+2，t-2），然后M點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=-x2+6得-（t+2）2+6=t-2，再解方程即可；當(dāng)t＞2時(shí)，利用同樣方法求對(duì)應(yīng)t的值．

（1）把（0，0）繞點(diǎn)（2，0）旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0）；把（-1，-1）繞點(diǎn)（2，0）旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，1）；

（2）把（3，4）繞點(diǎn)（t，0）旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn)的坐標(biāo)為（2t-3，-4）； ，

故點(diǎn)（3,4)的“發(fā)展點(diǎn)”的橫坐標(biāo)為2t-3；

（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，2m+6），則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2t-m，-2m-6）．

把（2t-m，-2m-6）代入y=2x-8，得2（2t-m）-8=-2m-6，解得t=．

∴點(diǎn)T的坐標(biāo)為（，0）．

（4）把（3，3）代入y= -x2+k得，-32+k=3，解得k=12．

∴拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y= -x2+12．

∵△PMQ是以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，T為PQ的中點(diǎn)，

∴△PTM是以點(diǎn)T為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．

當(dāng)0＜t≤3時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)可表示為（t+3，t-3），代入y= -x2+12得，

-（t+3）2+12=t-3，

解得t1= ，t 2=（不合題意，舍去）．

當(dāng)t＞3時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)可表示為（t-3，3-t），代入y=-x2+12得，

-（t-3）2+12=3-t，解得t1=0（不合題意，舍去），t2=7．

綜上, t= 或t=7．