Question

【題目】如圖，正方形ABCD和正方形OPEF中，邊AD與邊OP重合，，，點(diǎn)M、N分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，且.將正方形OPEF以每秒2個(gè)單位的速度向右平移，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)，停止平移．設(shè)平移時(shí)間為t秒.

(1)請(qǐng)求出t的取值范圍；

(2)猜想：正方形OPEF的平移過(guò)程中，OE與NM的位置關(guān)系．并說(shuō)明理由．

(3)連結(jié)DE、BE．當(dāng)的面積等于7時(shí)，試求出正方形OPEF的平移時(shí)間t的值．

備用圖

Answer 1

【答案】（1）；（2）OE⊥MN，證明見(jiàn)詳解；（3）t的值為： 或.

【解析】

（1）根據(jù)題意，當(dāng)AD與OP重合時(shí)，可求出AF=OF=2，BF=6，然后求出時(shí)間的最大值，即可得到t的取值范圍；

（2）連接AC，BD，OE，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中有OE∥AC，由∠CNM=45°=∠CDB，得到BD∥MN，由AC⊥BD，得到AC⊥MN，即可得到OE⊥MN；

（3）由勾股定理求出BD=，由面積公式，求出△BDE的高為，連接DE，BE，連接OE與BD相交于點(diǎn)H，根據(jù)正方形OPEF求出OE的長(zhǎng)度，然后得到OH的長(zhǎng)度，由等腰三角形△OBH中，根據(jù)勾股定理求得OB的長(zhǎng)度，然而OB=（8-2t），最后求出t的值.

（1）根據(jù)題意，當(dāng)AD與OP重合時(shí)，

∴，

∴，

當(dāng)點(diǎn)F到達(dá)點(diǎn)B時(shí)的時(shí)間為：（秒），

∴的取值范圍是：；

（2）OE與MN是垂直的關(guān)系；

如圖，連接AC，BD，OE，

由平移性質(zhì)得：OE∥AC，

由正方形性質(zhì)可知，

∵∠CDB=45°=∠CNM

∴MN∥BD，

∵AC⊥BD，

∴AC⊥MN

∴OE⊥MN；

（3）連接DE，BE，連接OE與BD相交于點(diǎn)H，在正方形ABCD中，有AB=AD=8，

∴BD=，

由（2）知，OE⊥BD，則EH是△BDE的高，

由三角形面積公式，得：，

∴，

∴，

① 當(dāng)點(diǎn)E在BD的下方時(shí)，如下圖：

在正方形OPEF中，，

∴，

∵△OBH是等腰直角三角形，OH=BH

∵運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，AO=2t，則OB=（8-2t）

由勾股定理得：，

∴，

解得：；

②當(dāng)點(diǎn)E在BD的上方時(shí)，如圖：

此時(shí)，，

由勾股定理得：，

解得：，

∴t的值為 或.