Question

【題目】由特殊到一般、類比、轉化是數(shù)學學習和研究中經(jīng)常用到的思想方法．下面是對一道幾何題進行變式探究的思路，請你運用上述思想方法完成探究任務．問題情境：在四邊形ABCD中，AC是對角線，E為邊BC上一點，連接AE．以E為旋轉中心，將線段AE順時針旋轉，旋轉角與∠B相等，得到線段EF，連接CF．

（1）特例如圖1，若四邊形ABCD是正方形，求證：AC⊥CF；

（2）拓展分析一：如圖2，若四邊形ABCD是菱形，探究下列問題：

①當∠B＝50°時，求∠ACF的度數(shù)；

②針對圖2的條件，寫出一般的結論（不必證明）；

（3）拓展探究二：如圖3，若四邊形ABCD是矩形，且BC＝kAB（k＞1）．若前提條件不變，特例分析中得到的結論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，修改題中的條件使結論成立（不必證明）．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①50°；②∠ACF＝∠B；（3）不成立，當EF＝kAE時，AC⊥CF．

【解析】

（1）如圖1中，作EH∥AC交AB于H．只要證明△HAE≌△CEF，即可推出∠AHE＝∠ECF＝135°，由∠BCA＝45°，推出∠ACF＝90°即可；

（2）①如圖2中，作EH∥AC交AB于H．只要證明△HAE≌△CEF，即可解決問題．②同①中的證明方法可得∠ACF＝∠B；

（3）結論：當EF＝kAE時，AC⊥CF．如圖3中，作EH∥AC交AB于H，AC與EF交于點O．只要證明△HAE∽△CEF，推出∠HEA＝∠F，由∠HEA＝∠CAE，推出∠CAE＝∠F，由∠AOE＝∠FOC，∠EAO+∠AOE＝90°，推出∠FOC+∠F＝90°，即可得到∠OCF＝90°．

（1）證明：如圖1中，作EH∥AC交AB于H．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠BAC＝∠BCA＝45°，

∵EH∥AC，

∴∠BHE＝∠BAC＝45°，∠BEH＝∠BCA＝45°，

∴∠BHE＝∠BEH＝45°，∠AHE＝135°，

∴BH＝BE，

∴AH＝CE，

∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠AEF+∠CEF，∠AEF＝∠B＝90°，

∴∠HAE＝∠CEF，

在△HAE和△CEF中，，

∴△HAE≌△CEF（SAS），

∴∠AHE＝∠ECF＝135°，

∵∠BCA＝45°，

∴∠ACF＝90°，

∴AC⊥CF；

（2）解：①如圖2中，作EH∥AC交AB于H．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB＝BC，∠BAC＝∠BCA，

∵EH∥AC，

∴∠BHE＝∠BAC，∠BEH＝∠BCA，

∴∠BHE＝∠BEH，

∴BH＝BE，

∴AH＝CE，

∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠AEF+∠CEF，∠AEF＝∠B，

∴∠HAE＝∠CEF，

在△HAE和△CEF中，，

∴△HAE≌△CEF(SAS)，

∴∠AHE＝∠ECF，

∵∠B＝50°，

∴∠BHE＝∠ACB＝65°，

∴∠AHE＝∠ECF＝115°

∴∠ACF＝115°﹣65°＝50°；

②結論：∠ACF＝∠B．證明如下：

同①可得△HAE≌△CEF，

∴∠AHE＝∠ECF．

∴∠B+∠BEH=∠ACF+∠ACB，

又由①知∠BEH=∠ACB，

∴∠ACF=∠B；

（3）解：不成立，當EF＝kAE時，AC⊥CF．理由如下：

如圖3中，作EH∥AC交AB于H，AC與EF交于點O．

∵EH∥AC，

∴＝，

∴＝＝，

∵EF＝kAE，

∴＝＝，

∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠AEF+∠CEF，∠AEF＝∠B＝90°，

∴∠HAE＝∠CEF，

∴△HAE∽△CEF，

∴∠HEA＝∠F，

∵∠HEA＝∠CAE，

∴∠CAE＝∠F，

∵∠AOE＝∠FOC，∠EAO+∠AOE＝90°，

∴∠FOC+∠F＝90°，

∴∠OCF＝90°，

∴AC⊥CF．