Question

9．如圖，直線(xiàn)l：y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B，△AOB與△ACB關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，則∠OBC=60°．點(diǎn)C的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

Answer 1

分析 過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出OA，OB的長(zhǎng)度，根據(jù)直角三角形特殊角的三角函數(shù)值可求得有關(guān)角的度數(shù)．利用軸對(duì)稱(chēng)性和直角三角函數(shù)值可求得AE，CE的長(zhǎng)度，從而求得點(diǎn)C的坐標(biāo)．

解答 解：過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，
由直線(xiàn)AB的解析式可知
當(dāng)x=0時(shí)，y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$，即OB=$\sqrt{3}$
當(dāng)y=0時(shí)，x=1，即OA=1
∵∠AOB=∠C=90°，tan∠3=OB：OA=$\sqrt{3}$
∴∠3=60°，
∵△AOB與△ACB關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)
∴∠2=∠3=60°，則∠OBC=60°，AC=OA=1，
∴∠1=180°-∠2-∠3=60°，
在Rt△ACE中，
AE=cos60°×AC=$\frac{1}{2}$×1=$\frac{1}{2}$，
CE=sin60°×AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴OE=1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
故答案為：60°，（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的性質(zhì)和有關(guān)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的知識(shí)解題是關(guān)鍵．