Question

【題目】如圖，⊙P的圓心P(m，n)在拋物線(xiàn)y＝上．

(1)寫(xiě)出m與n之間的關(guān)系式；

(2)當(dāng)⊙P與兩坐標(biāo)軸都相切時(shí)，求出⊙P的半徑；

(3)若⊙P的半徑是8，且它在x軸上截得的弦MN，滿(mǎn)足0≤MN≤2時(shí)，求出m、n的范圍．

Answer 1

【答案】（1）n＝m2；（2）⊙P的半徑為2；（3）≤m≤4或﹣4≤m≤﹣；7≤n≤8．

【解析】

（1）將點(diǎn)P（m，n）代入拋物線(xiàn)解析式y=x2可得m與n之間的關(guān)系式；

（2）根據(jù)⊙P與兩坐標(biāo)軸都相切知|m|=m2 ，解之可得m的值，但要根據(jù)實(shí)際情況取舍，從而得出⊙P的半徑；

（3）作PK⊥MN于點(diǎn)K，連接PM，分別求出MN=0和MN=2時(shí)PK的值，據(jù)此可得PK=m2的范圍是7≤m2≤8，解不等式即可．

解：（1）∵點(diǎn)P（m，n）在拋物線(xiàn)y＝上，

∴n＝m2；

（2）當(dāng)點(diǎn)P（m， m2）在第一象限時(shí)，

由⊙P與兩坐標(biāo)軸都相切知m＝m2，

解得：m＝0（舍）或m＝2，

∴⊙P的半徑為2；

當(dāng)點(diǎn)P（m，m2）在第三象限時(shí)，

由⊙P與兩坐標(biāo)軸都相切知﹣m＝m2，

解得：m＝0或m＝﹣2，

∴⊙P的半徑為2；

（3）如圖，作PK⊥MN于點(diǎn)K，連接PM，

當(dāng)MN＝2時(shí)，MK＝MN＝，

∵PM＝8，

則PK＝＝＝7，

當(dāng)MN＝0時(shí)，PK＝8，

∴7≤PK≤8，即7≤n≤8，

∵n＝m2，

∴7≤m2≤8，

解得：≤m≤4或﹣4≤m≤﹣．