Question

【題目】如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，以線段AB為邊在第一象限內(nèi)作等邊△ABC，

(1)求△ABC的面積；

(2)如果在第二象限內(nèi)有一點(diǎn)P(a，)，試用含a的式子表示四邊形ABPO的面積，并求出當(dāng)△ABP的面積與△ABC的面積相等時(shí)a的值；

(3)在x軸上，存在這樣的點(diǎn)M，使△MAB為等腰三角形.請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合要求的點(diǎn)M的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】解：根據(jù)條件，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是()、().

(1) 在△ABO中，由勾股定理，得.

所以正△ABC的高是，從而△ABC的面積是.

(2) 過(guò)P作PD垂直OB于D，則四邊形ABPO的面積

.

當(dāng)△ABP的面積與△ABC的面積相等時(shí)，

四邊形ABPO的面積－△AOP的面積＝△ABC的面積，

即.

解得.

(3) 符合要求的點(diǎn)M的坐標(biāo)分別是()、()、()、()

【解析】

（1）由一次函數(shù)解析式可求出OA、OB的長(zhǎng)度，在Rt△OAB中可求出AB的長(zhǎng)度，再由等邊三角形的性質(zhì)可求出△ABC的面積；（2）依題意可得出S四邊形ABPO=S△ABO+S△BOP，當(dāng)S△ABP=S△ABC時(shí)求出a值．（3）①以AB為腰的等腰三角形有三個(gè)，②以AB為底邊的等腰三角形有1一個(gè)，分別求出點(diǎn)M的坐標(biāo)即可．

解：（1）∵函數(shù)解析式為：y＝

∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)A坐標(biāo)為（，0），
∴OA=，OB=1，
在Rt△OAB中，AB==2，
則等邊三角形ABC的面積為AB2=．

（2）S四邊形ABPO=S△ABO+S△BOP=×OA×OB+×OB×h=××1+×1×|a|．
∵P在第二象限，∴S四邊形ABPO=-==，
S△ABP=SABPO-S△AOP=（-）-×OA×．
∴S△ABP=--=-=S△ABC=．
∴a=-．

（3）（2）存在點(diǎn)M，使△MAB為等腰三角形
①若以AB為腰，如圖所示：

當(dāng)點(diǎn)M位于M1位置時(shí)，OM1=OA+AM1=OA+AB=2+，
此時(shí)點(diǎn)M1坐標(biāo)為（2+，0）；
當(dāng)點(diǎn)M位于M2位置時(shí)，OM2=OA=，
此時(shí)點(diǎn)M2坐標(biāo)為（-，0）；
當(dāng)點(diǎn)M位于M3位置時(shí)，OM3=AB=2，
此時(shí)點(diǎn)M3坐標(biāo)為（-2，0）；
②若以AB為底邊，如圖所示：

作AB的中垂線交x軸于點(diǎn)M4，則此時(shí)△M4AB為等腰三角形，
∵OB=1，OA=，
∴∠OAB=30°，
∵AB=2，M4N是AB的中垂線，
∴AN=1，
在Rt△ANM4中，AM4==，
則OM4=OA-AM4=，
則此時(shí)M4的坐標(biāo)為（，0）．
綜上可得存在點(diǎn)M，使△MAB為等腰三角形，點(diǎn)M的坐標(biāo)為：M1（2+，0）或M2（-，0）或M3（-2，0）或M4（，0）．