Question

【題目】如圖，⊙P的圓心P(m，n)在拋物線y＝上．

(1)寫出m與n之間的關(guān)系式；

(2)當⊙P與兩坐標軸都相切時，求出⊙P的半徑；

(3)若⊙P的半徑是8，且它在x軸上截得的弦MN，滿足0≤MN≤2時，求出m、n的范圍．

Answer 1

【答案】（1）n＝m2；（2）⊙P的半徑為2；（3）≤m≤4或﹣4≤m≤﹣；7≤n≤8．

【解析】

（1）將點P（m，n）代入拋物線解析式y=x2可得m與n之間的關(guān)系式；

（2）根據(jù)⊙P與兩坐標軸都相切知|m|=m2 ，解之可得m的值，但要根據(jù)實際情況取舍，從而得出⊙P的半徑；

（3）作PK⊥MN于點K，連接PM，分別求出MN=0和MN=2時PK的值，據(jù)此可得PK=m2的范圍是7≤m2≤8，解不等式即可．

解：（1）∵點P（m，n）在拋物線y＝上，

∴n＝m2；

（2）當點P（m， m2）在第一象限時，

由⊙P與兩坐標軸都相切知m＝m2，

解得：m＝0（舍）或m＝2，

∴⊙P的半徑為2；

當點P（m，m2）在第三象限時，

由⊙P與兩坐標軸都相切知﹣m＝m2，

解得：m＝0或m＝﹣2，

∴⊙P的半徑為2；

（3）如圖，作PK⊥MN于點K，連接PM，

當MN＝2時，MK＝MN＝，

∵PM＝8，

則PK＝＝＝7，

當MN＝0時，PK＝8，

∴7≤PK≤8，即7≤n≤8，

∵n＝m2，

∴7≤m2≤8，

解得：≤m≤4或﹣4≤m≤﹣．