【題目】綜合與實(shí)踐:
動(dòng)手操作:如圖1,四邊形是一張矩形紙片,,,點(diǎn),分別在,邊上,且,連接,.將,分別沿,折疊,點(diǎn),分別落在點(diǎn),處.
探究展示:
(1)“刻苦小組”發(fā)現(xiàn):,且,并展示了如下的證明過程.
證明:在矩形中,,,.
又∵,
∴.
∴,.
∵,
∴.(依據(jù)1)
∴.
∴.(依據(jù)2)
反思交流:①上述證明過程中的“依據(jù)1”與“依據(jù)2”分別指什么?
②“勤奮小組”認(rèn)為:還可以通過證明四邊形是平行四邊形獲證,請(qǐng)你根據(jù)“勤奮小組”的證明思路寫出證明過程.
猜想證明:
(2)如圖2,折疊過程中,當(dāng)點(diǎn),在直線的同側(cè)時(shí),延長交于點(diǎn),延長交于點(diǎn),則四邊形是什么特殊四邊形?請(qǐng)說明理由.
聯(lián)想拓廣:
(3)如圖3,連接,,.
①當(dāng)時(shí),的長為________;
②的長有最大值嗎?若有,請(qǐng)你直接寫出長的最大值和此時(shí)四邊形的形狀;若沒有,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)①見解析②見解析;(2)矩形,理由見解析;(3)① ②有;;菱形
【解析】
(1)①根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)即可得解;
②由矩形的性質(zhì)進(jìn)行等量轉(zhuǎn)換得出,即可判定四邊形是平行四邊形,即可得證;
(2)首先由對(duì)折的性質(zhì)得出,,然后利用,進(jìn)行等量轉(zhuǎn)換,得出,即可判定四邊形是矩形;
(3)①延長C′A′交AD于G,A′C′交BC于H,利用△A′GE≌△C′HF,得出AG=BH=4,再利用勾股定理構(gòu)建方程,即可得出AE;
②當(dāng)⊥BD時(shí),的長有最大值,利用菱形的性質(zhì)以及勾股定理即可得解.
(1)①“依據(jù)1”指兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等;
“依據(jù)2”指同位角相等,兩直線平行.
②證明:在矩形中,,.
又∵,
∴,即.
∴四邊形是平行四邊形.
∴,且.
(2)四邊形是矩形,
延長,交于點(diǎn),如下圖.
由對(duì)折可知,.
∵,
∴.
同理,.
由(1)得,,
∴.
由對(duì)折可知,,.
∴
在中,.
在矩形中,,即.
∴.
∴.
∴.
∴.
∴四邊形是矩形.
(3)①延長C′A′交AD于G,A′C′交BC于H,如圖所示:
∵
∴GH∥AB
∴∠A′GE=∠C′HF=90°,AG=BH
∵∠EA′G=∠FC′H,A′E=C′F
∴△A′GE≌△C′HF
∴EG=FH
∵AE=CF
∴AG=CH
∴AG=BH=4
∴
∴
設(shè)AE=x,則EG=4-x,
在Rt△A′EG中,
即
解得,即AE=;
②當(dāng)⊥BD時(shí),的長有最大值,最大值為,此時(shí)四邊形是菱形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,、、的對(duì)邊分別是、、,一條直線與邊相交于點(diǎn),與邊相交于點(diǎn).
(1)如圖①,若將分成周長相等的兩部分,求的值;(用、、表示)
(2)如圖②,若,,,將分成周長、面積相等的兩部分,求的值;
(3)如圖③,若將分成周長、面積相等的兩部分,且,則、、滿足什么關(guān)系?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線y=ax2﹣x+c經(jīng)過A(﹣2,0),B(0,2)兩點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P,Q同時(shí)從原點(diǎn)出發(fā)均以1個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)P沿x軸正方向運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q沿y軸正方向運(yùn)動(dòng),連接PQ,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒
(1)求拋物線的解析式;
(2)當(dāng)BQ=AP時(shí),求t的值;
(3)隨著點(diǎn)P,Q的運(yùn)動(dòng),拋物線上是否存在點(diǎn)M,使△MPQ為等邊三角形?若存在,請(qǐng)求出t的值及相應(yīng)點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為迎接縣中學(xué)生籃球比賽,計(jì)劃購買A、B兩種籃球共20個(gè)供學(xué)生訓(xùn)練使用.若購買A種籃球6個(gè),則購買兩種籃球共需費(fèi)用720元;若購買A種籃球12個(gè),則購實(shí)兩種籃球共需費(fèi)用840元.
(1)A、B兩種籃球共需單價(jià)各多少元?
(2)設(shè)購買A種籃球x個(gè)且A種籃球不少于8個(gè),所需費(fèi)用為y元,試確定y與x的關(guān)系式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形中,分別是邊上的點(diǎn),,將沿所在直線折疊,點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)正好落在線段上,若,則折痕的長為__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖:甲、乙兩地相距,一輛貨車和一輛轎車先后從甲地出發(fā)駛向乙地,線段和折線分別表示貨車和轎車離甲地的距離與貨車出發(fā)時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系,請(qǐng)根據(jù)圖象解答下列問題:
(1)貨車的速度為___________,當(dāng)轎車到達(dá)乙地后,貨車距乙地的距離為____________千米;
(2)求轎車改變速度后與的函數(shù)關(guān)系式;
(3)轎車到達(dá)乙地后,馬上沿原路以段速度返回,求轎車從乙地出發(fā)后多長時(shí)間再次與貨車相遇?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一般捕魚船在A處發(fā)出求救信號(hào),位于A處正西方向的B處有一艘救援艇決定前去數(shù)援,但兩船之間有大片暗礁,無法直線到達(dá).救援艇決定馬上調(diào)整方向,先向北偏東方以每小時(shí)30海里的速度航行,同時(shí)捕魚船向正北低速航行.30分鐘后,捕魚船到達(dá)距離A處海里的D處,此時(shí)救援艇在C處測(cè)得D處在南偏東的方向上.
求C、D兩點(diǎn)的距離;
捕魚船繼續(xù)低速向北航行,救援艇決定再次調(diào)整航向,沿CE方向前去救援,并且捕魚船和救援艇同達(dá)時(shí)到E處,若兩船航速不變,求的正弦值.參考數(shù)據(jù):,,
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,的周長為36 cm,對(duì)角線相交于點(diǎn)cm.若點(diǎn)是的中點(diǎn),則的周長為( )
A.10 cmB.15 cmC.20 cmD.30 cm
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法正確的是( )
A.了解我區(qū)居民知曉“創(chuàng)建文明城區(qū)”的情況,適合全面調(diào)查;
B.甲乙兩人跳高成績的方差分別為,說明乙的距離成績比甲穩(wěn)定;
C.一組數(shù)據(jù)2,2,3,4的眾數(shù)是2,中位數(shù)是2.5;
D.可能性是1%的事件在一次試驗(yàn)中一定不會(huì)發(fā)生.
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