如圖,直角△ABC中,∠C=90°,AB=2,sinB=,點P為邊BC上一動點,PD∥AB,PD交AC于點D,連結AP.
(1)求、的長;
(2)設的長為,的面積為.當為何值時,最大并求出最大值.
(1)2,4;(2)2,1.
解析試題分析:(1)在Rt△ABC中,根據∠B的正弦值及斜邊AB的長,可求出AC的長,進而可由勾股定理求得BC的長;
(2)由于PD∥AB,易證得△CPD∽△CBA,根據相似三角形得出的成比例線段,可求出CD的表達式,也就求出AD的表達式,進而可以AD為底、PC為高得出△ADP的面積,即可求出關于y、x的函數關系式,根據所得函數的性質,可求出y的最大值及對應的x的值.
試題解析:(1)在Rt△ABC中,, ,
得 ,
∴AC=2,
根據勾股定理得:BC=4;
(2)∵PD∥AB,
∴△ABC∽△DPC,
∴;
設PC=x,則, ,
∴
∴當x=2時,y的最大值是1.
考點:1.二次函數的最值;2.勾股定理;3.相似三角形的判定與性質.
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四邊形ABCD中,點E是AB的中點,F是AD邊上的動點.連結DE、CF.
(1)若四邊形ABCD是矩形,AD=12,CD=10,如圖(1)所示.
①請直接寫出AE的長度;
②當DE⊥CF時,試求出CF長度.
(2)如圖(2),若四邊形ABCD是平行四邊形,DE與CF相交于點P.
探究:當∠B與∠PC滿足什么關系時,成立?并證明你的結論.
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如圖:四邊形ABCD和四邊形AEFC都是矩形,點B在EF邊上.
(1)請你找出圖中一對相似三角形(相似比不等于1),并加以證明;
(2)若四邊形ABCD的面積為20,求四邊形AEFC的面積.
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在△ABC中,∠CAB=90°,AD⊥BC于點D,點E為AB的中點,EC與AD交于點G,點F在BC上.
(1)如圖1,AC:AB=1:2,EF⊥CB,求證:EF=CD.
(2)如圖2,AC:AB=1:,EF⊥CE,求EF:EG的值.
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如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,BC=4,點M是AD的中點,△MBC是等邊三角形.
(1)求證:梯形ABCD是等腰梯形;
(2)動點P、Q分別在線段BC和MC上運動,且∠MPQ=60°保持不變.設PC=x,MQ=y,求y與x的函數關系式;
(3)在(2)中:
①當動點P、Q運動到何處時,以點P、M和點A、B、C、D中的兩個點為頂點的四邊形是平行四邊形?并指出符合條件的平行四邊形的個數;
②當y取最小值時,判斷△PQC的形狀,并說明理由.
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如圖,在6×8的網格圖中,每個小正方形邊長均為1,點O和△ABC的頂點均為小正方形的頂點.
⑴以O為位似中心,在網格圖中作△A′B′C′,使△A′B′C′和△ABC位似,且位似比為1:2
⑵連接⑴中的AA′,求四邊形AA′C′C的周長.(結果保留根號)
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(已知:如圖所示的一張矩形紙片ABCD(AD>AB),將紙片折疊一次,使點A與點C重合,再展開,折痕EF交AD邊于點E,交BC邊于點F,分別連結AF和CE。
(1)求證:四邊形AFCE是菱形;
(2)若AE=10cm,△ABF的面積為24cm2,求△ABF的周長;
(3)在線段AC上是否存在一點P,使得2AE2=AC·AP?若存在,請說明點P的位置,并予以證明;若不存在,請說明理由。
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如圖:已知一次函數的圖像分別交軸、軸于、兩點,且點在一次函數的圖像上,⊥軸于點.
(1)求的值及、兩點的坐標;
(2)如果點在線段上,且,求點的坐標;
(3)如果點在軸上,那么當△與△相似時,求點的坐標.
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閱讀理解:
如圖1,在四邊形ABCD的邊AB上任取一點E(點E不與點A、點B重合),分別連接ED,EC,可以把四邊形ABCD分成三個三角形,如果其中有兩個三角形相似,我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的相似點;如果這三個三角形都相似,我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的強相似點.解決問題:
(1)如圖1,∠A=∠B=∠DEC=55°,試判斷點E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點,并說明理由;
(2)如圖2,在矩形ABCD中,AB=5,BC=2,且A,B,C,D四點均在正方形網格(網格中每個小正方形的邊長為1)的格點(即每個小正方形的頂點)上,試在圖2中畫出矩形ABCD的邊AB上的一個強相似點E;
拓展探究:
(3)如圖3,將矩形ABCD沿CM折疊,使點D落在AB邊上的點E處.若點E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個強相似點,試探究AB和BC的數量關系.
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