Question

【題目】問題：如圖1，在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，∠DPC=∠A=∠B=90°．

（1）求證：ADBC=APBP．
（2）探究：如圖2，在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，當∠DPC=∠A=∠B=θ時，上述結(jié)論是否依然成立？說明理由．

（3）應用：請利用（1）（2）獲得的經(jīng)驗解決問題：
如圖3，在△ABD中，AB=12，AD=BD=10．點P以每秒1個單位長度的速度，由點A出發(fā)，沿邊AB向點B運動，且滿足∠DPC=∠A．設點P的運動時間為t（秒），當以D為圓心，以DC為半徑的圓與AB相切，求t的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1，

∵∠DPC=∠A=∠B=90°，

∴∠ADP+∠APD=90°，

∠BPC+∠APD=90°，

∴∠APD=∠BPC，

∴△ADP∽△BPC，

∴ ，

∴ADBC=APBP

（2）結(jié)論ADBC=APBP仍成立；

理由：證明：如圖2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，

又∵∠BPD=∠A+∠APD，

∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠APD，

∵∠DPC=∠A=θ，

∴∠BPC=∠APD，

又∵∠A=∠B=θ，

∴△ADP∽△BPC，

∴ ，

∴ADBC=APBP；

（3）解：如下圖，過點D作DE⊥AB于點E，

∵AD=BD=10，AB=12，

∴AE=BE=6

∴DE= =8，

∵以D為圓心，以DC為半徑的圓與AB相切，

∴DC=DE=8，

∴BC=10﹣8=2，

∵AD=BD，

∴∠A=∠B，

又∵∠DPC=∠A，

∴∠DPC=∠A=∠B，

由（1）（2）的經(jīng)驗得ADBC=APBP，

又∵AP=t，BP=12﹣t，

∴t（12﹣t）=10×2，

∴t=2或t=10，

∴t的值為2秒或10秒

【解析】（1）要證ADBC=APBP，將等積式轉(zhuǎn)化為比列式，可知需證△ADP∽△BPC，根據(jù)已知易證證明∠APD=∠BPC，即可得出結(jié)論。
（2）此題需證△ADP∽△BPC，還差一個條件，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠BPD=∠DPC+∠BPC，∠BPD=∠A+∠APD，結(jié)合已知得出∠BPC=∠APD，即可證得結(jié)論。
（3）抓住已知AD=BD，過點D作DE⊥AB于點E，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理求出DE的長，再以D為圓心，以DC為半徑的圓與AB相切，得出DC=DE=8，從而求出BC的長，再證明∠DPC=∠A=∠B，根據(jù)前兩題的證明過程可知ADBC=APBP，建立方程求出t的值。
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用因式分解法和三角形的外角的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握已知未知先分離，因式分解是其次．調(diào)整系數(shù)等互反，和差積套恒等式．完全平方等常數(shù)，間接配方顯優(yōu)勢；三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫三角形的外角；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角．