【題目】如圖1,在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C,點A的坐標為(﹣1,0),且OC=OB,tan∠OAC=4.

(1)求拋物線的解析式;

(2)若點D和點C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,直線AD下方的拋物線上有一點P,過點P作PHAD于點H,作PM平行于y軸交直線AD于點M,交x軸于點E,求PHM的周長的最大值.

(3)在(2)的條件下,如圖2,在直線EP的右側(cè)、x軸下方的拋物線上是否存在點N,過點N作NGx軸交x軸于點G,使得以點E、N、G為頂點的三角形與AOC相似?如果存在,請直接寫出點G的坐標:如果不存在,請說明理由.

【答案】(1)y=x2﹣3x﹣4(2)4+4(3)存在

【解析】

(1)先由銳角三角函數(shù)的定義求得C的坐標,從而得到點B的坐標,設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+1)(x-4),將點C的坐標代入求解即可;
(2)先求得拋物線的對稱軸,從而得到點D(3,-4),然后可求得直線AD的解析式y=-x-1,故∠BAD=45°,接下來證明PMD為等腰直角三角形,所當PM有最大值時三角形的周長最大,設(shè)P(a,a2-3a-4),M(-a-1),則PM=-a2+2a+3,然后利用配方可求得PM的最大值,最后根據(jù)MPH的周長=(1+)PM求解即可;
(3)設(shè)點G的坐標為(a,0),則N(a,a2﹣3a﹣4),= 時,△AOC∽△EGN,

=,求出a 的值,若=時,AOC∽△NGE,=4,

求出a的值,舍去不符合的即可得出答案.

(1)∵點A的坐標為(﹣1,0),

∴OA=1.

∵tan∠OAC=4,

∴OC=4,

∴C(0,﹣4).

∵OC=OB,

∴OB=4,

∴B(4,0).

設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+1)(x﹣4)

將x=0,y=﹣4代入得:﹣4a=﹣4,解得a=1,

拋物線的解析式為y=x2﹣3x﹣4.

(2)∵拋物線的對稱軸為x=﹣=,C(0,﹣4),

點D和點C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,

∴D(3,﹣4)

設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b.

將A(﹣1,0)、D(3,﹣4)代入得:,

解得k=﹣1,b=﹣1,

直線AD的解析式y(tǒng)=﹣x﹣1.

直線AD的一次項系數(shù)k=﹣1,

∴∠BAD=45°.

PM平行于y軸,

∴∠AEP=90°,

∴∠PMH=∠AME=45°.

∴△MPH的周長=PM+MH+PH=PM+MP+PM=(1+)PM.

設(shè)P(a,a2﹣3a﹣4),則M(a,﹣a﹣1),

則PM═﹣a﹣1﹣(a2﹣3a﹣4)=﹣a2+2a+3=﹣(a﹣1)2+4.

當a=1時,PM有最大值,最大值為4.

∴△MPH的周長的最大值=4×(1+)=4+4;

(3)存在

點G的坐標為(,0)或(,0).

附解題過程:設(shè)點G的坐標為(a,0),則N(a,a2﹣3a﹣4)

如圖1,

= 時,△AOC∽△EGN.

=,整理得:a2+a﹣8=0.

得:a=(負值舍去)點G為(,0)

如圖2,

=時,△AOC∽△NGE.

=4,整理得:4a2﹣11a﹣17=0.

得:a=(負值舍去)

點G為(,0).

綜上所述,點G的坐標為(,0)或(,0).

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖1,點A、B、C分別是⊙O上不重合的三點,連接AC、BC.

(1)如圖2,點P是直線AB上方且在⊙O外的任意一點, 連接AP、BP.試比較∠APB與∠ACB的大小關(guān)系,并說明理由;

(2) 若點P是⊙O內(nèi)任意一點, 連接AP、BP,比較∠APB與∠ACB大小關(guān)系;

(3)如圖3,在平面直角坐標系xOy中,點A與點B的坐標分別是(1,0),(5,0),點P是直線y=-x上一動點,當∠APB取得最大值時,直接寫出點P的坐標,并簡要說明點P的位置是如何確定的.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某商貿(mào)公司有兩種型號的商品需運出,這兩種商品的體積和質(zhì)量分別如下表所示:

體積(立方米/件)

質(zhì)量(噸/件)

型商品

08

05

型商品

2

1

1)已知一批商品有、兩種型號,體積一共是20立方米,質(zhì)量一共是105噸,求、兩種型號商品各有幾件?

2)物資公司現(xiàn)有可供使用的貨車每輛額定載重35噸,容積為6立方米,其收費方式有以下兩種:

車收費:每輛車運輸貨物到目的地收費600元;

②按噸收費:每噸貨物運輸?shù)侥康牡厥召M200元.

現(xiàn)要將(1)中商品一次或分批運輸?shù)侥康牡兀绻麅煞N收費方式可混合使用,商貿(mào)公司應(yīng)如何選擇運送、付費方式,使其所花運費最少,最少運費是多少元?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】近年來網(wǎng)約車十分流行,初三某班學生對美團滴滴兩家網(wǎng)約車公司各10名司機月收入進行了一項抽樣調(diào)查,司機月收入(單位:千元)如圖所示:

根據(jù)以上信息,整理分析數(shù)據(jù)如下:

平均月收入/千元

中位數(shù)/千元

眾數(shù)/千元

方差/千元2

美團

6

6

1.2

滴滴

6

4

(1)完成表格填空;

(2)若從兩家公司中選擇一家做網(wǎng)約車司機,你會選哪家公司,并說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】(類比概念)三角形的內(nèi)切圓是以三個內(nèi)角的平分線的交點為圓心,以這點到三邊的距離為半徑的圓,則三角形可以稱為圓的外切三角形,可以得出三角形的三邊與該圓相切.以此類推,如圖1,各邊都和圓相切的四邊形稱為圓外切四邊形

(性質(zhì)探究)如圖1,試探究圓外切四邊形的ABCD兩組對邊AB,CDBC,AD之間的數(shù)量關(guān)系

猜想結(jié)論:   (要求用文字語言敘述)

寫出證明過程(利用圖1,寫出已知、求證、證明)

(性質(zhì)應(yīng)用)

①初中學過的下列四邊形中哪些是圓外切四邊形   (填序號)

A:平行四邊形:B:菱形:C:矩形;D:正方形

②如圖2,圓外切四邊形ABCD,且AB=12,CD=8,則四邊形的周長是   

③圓外切四邊形的周長為48cm,相鄰的三條邊的比為5:4:7,求四邊形各邊的長.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,OD⊥BCD,∠OCD=40°,則弦BC所對圓周角的度數(shù)是( 。

A. 40° B. 50° C. 50°130° D. 40°140°

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,⊙O△ABC的外接圓,AB⊙O的直徑,D⊙O上一點,OD⊥AC,垂足為E,連接BD.

(1)求證:BD平分∠ABC

(2) ∠ODB=30°時,求證:BC=OD.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】為積極響應(yīng)南充市創(chuàng)建全國衛(wèi)生城市的號召,某校1 500名學生參加了衛(wèi)生知識競賽,成績記為A、B、C、D四等。從中隨機抽取了部分學生成績進行統(tǒng)計,繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖表,根據(jù)圖表信息,以下說法不正確的是( )

A.樣本容量是200

B.D等所在扇形的圓心角為15°

C.樣本中C等所占百分比是10%

D.估計全校學生成績?yōu)锳等大約有900人

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】我們知道平行四邊形有很多性質(zhì),現(xiàn)在如果我們把平行四邊形沿著它的一條對角線翻折,會發(fā)現(xiàn)這其中還有更多的結(jié)論.

(發(fā)現(xiàn)結(jié)論)

1)如圖,在□ABCD中,AB≠BC,將ABC沿AC翻折至AB′C,連結(jié)B′D,發(fā)現(xiàn)兩個有趣的結(jié)論:①EAC是等腰三角形 AC//B′D 請你選擇其中一個結(jié)論加以證明

(結(jié)論運用)

2)在□ABCD中,已知:BC=2,∠B=60°,將ABC沿AC翻折至AB′C,連結(jié)B′D(如上圖).若四邊形ACDB′是矩形,求AC的長.

(方法拓展)

3)若 =k,且以A、CD、B′為頂點的四邊形為正方形,則k的值為

查看答案和解析>>

同步練習冊答案