Question

【題目】在正方形ABCD中，點(diǎn)E是直線CD上一動(dòng)點(diǎn)，以BE為斜邊向上方作等腰直角△BEF，連接AF，試求線段AF與DE的數(shù)量關(guān)系．

（1）小可同學(xué)進(jìn)行探索：①將點(diǎn)E的位置特殊化，發(fā)現(xiàn)DE= ___ AF；

②點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，∠BAF= ___ ；(填度數(shù))

（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時(shí)，證明AF與DE的數(shù)量關(guān)系；

（3）如圖2，當(dāng)邊EF被對(duì)角線BD平分時(shí)，求值．

Answer 1

【答案】（1）①；②45°或135°；（2）；（3）

【解析】

（1）①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合、點(diǎn)F與點(diǎn)O重合時(shí)，可證得DE=AF，∠BAF=45°；

②當(dāng)點(diǎn)E在CD延長(zhǎng)線上時(shí)，利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等證得△ABF∽△DBE，即可求得∠BAF=∠BDE=135°；

（2）利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等證得△ABF∽△DBE，即可求得答案；

（3）利用（2）的結(jié)論證得，BF，則FE=，BE=，求得BM，證得△MBE∽△EBD，得到，即可求得BD和MD的長(zhǎng)，從而求得答案．

（1）①∵四邊形ABCD是正方形，

∴OB=OC=AC=BD，∠BOC=90°，

當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合、點(diǎn)F與點(diǎn)O重合時(shí)，如圖：

△BEF等腰直角三角形，

∴DE=AB=AF，

②∠BAF=45°；

當(dāng)點(diǎn)E在CD延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖：

連接BD，

∵四邊形ABCD是正方形

∴∠ABD=45°，

∴，

∵△BEF是等腰直角三角形，∠BFE=90°，

∴BF=FE，∠FBE=45°，

∴，

∴，即，

∴∠ABF+∠EBA =∠DBE+∠EBA =45°，

∴∠ABF=∠DBE，

∴△ABF∽△DBE，

∴∠BAF=∠BDE=∠ADB+∠ADE =45°+90°=135°，

故答案為：①DE=AF，②∠BAF=45°或135°；

（2）連接BD，

∵四邊形ABCD是正方形

∴∠ABD=45°，

∴，

∵△BEF是等腰直角三角形，∠BFE=90°，

∴BF=FE，∠FBE=45°，

∴，

∴，即，

∴∠ABF+∠DBF =∠DBE+∠DBF=45°，

∴∠ABF=∠DBE，

∴△ABF∽△DBE，

∴，

∴；

（3）∵△ABF∽△EBD，

∴，

又∵∠MEB=∠BDE=45°，∠MBE=∠EBD，

∴△MBE∽△EBD，

∴，

令BF，

∴FE=，BE=，

∵M(jìn)是FE的中點(diǎn)，

∴FM=，

∴BM=，

∴，

∴BD=，

∴MD=BD-BM=-=，

∴，

∴．