Question

14．如圖，已知直線y=3x-3分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過
A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)（與A點(diǎn)不重合）．
（1）求拋物線的解析式：
（2）求△ABC的面積；
（3）在拋物線的對稱軸上，是否存在點(diǎn)M，使△ABM周長最短？若不存在，請說明理由；若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由直線解析式可求得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；
（2）由拋物線解析式可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積可求得答案；
（3）連接BC交對稱軸于點(diǎn)M，由題意可知A、C關(guān)于對稱軸對稱，則可知MA=MC，故當(dāng)B、M、C三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)MA+MB最小，則△ABM的周長最小，由B、C坐標(biāo)可求得直線BC的解析式，則可求得M點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：
（1）在y=3x-3中，令y=0可求得x=1，令x=0可得y=-3，
∴A（1，0），B（0，-3），
把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入y=x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{1+b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=x²+2x-3；
（2）令y=0得0=x²+2x-3，解得x₁=1，x₂=-3
∴C（-3，0），AC=4
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•OB=$\frac{1}{2}$×4×3=6；
（3）∵y=x²+2x-3=（x+1）²-4，
∴拋物線的對稱軸為x=-1，
∵A、C關(guān)于對稱軸對稱，
∴MA=MC，
∴MB+MA=MB+MC，
∴當(dāng)B、M、C三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)MB+MC最小，此時(shí)△ABM的周長最小，
∴連接BC交對稱軸于點(diǎn)M，則M即為滿足條件的點(diǎn)，

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+m，
∵直線BC過點(diǎn)B（0，-3），C（-3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3k+m=0}\\{m=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{m=-3}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式y(tǒng)=-x-3，
當(dāng)x=-1時(shí)，y=-2，
∴M（-1，-2），
∴存在點(diǎn)M使△ABM周長最短，其坐標(biāo)為（-1，-2）．

點(diǎn)評 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、三角形的面積、軸對稱的性質(zhì)等知識(shí)．在（1）中求得A、B的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（2）中求得C點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（3）中確定出M點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，但難度不大．