Question

如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等邊三角形，E是AB的中點，連接CE并延長交AD于F．

（1）求證：①△AEF≌△BEC；②四邊形BCFD是平行四邊形；

（2）如圖2，將四邊形ACBD折疊，使D與C重合，HK為折痕，求sin∠ACH的值．

　

Answer 1

【考點】等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定；平行四邊形的判定；翻折變換（折疊問題）；解直角三角形．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有

【專題】綜合題；壓軸題．

【分析】（1）①在△ABC中，由已知可得∠ABC=60°，從而推得∠BAD=∠ABC=60°．由E為AB的中點，得到AE=BE．又因為∠AEF=∠BEC，所以△AEF≌△BEC．

②在Rt△ABC中，E為AB的中點，則CE=AB，BE=AB，得到∠BCE=∠EBC=60°．由△AEF≌△BEC，得∠AFE=∠BCE=60°．又∠D=60°，得∠AFE=∠D=60度．所以FC∥BD，又因為∠BAD=∠ABC=60°，所以AD∥BC，即FD∥BC，則四邊形BCFD是平行四邊形．

（2）在Rt△ABC中，設(shè)BC=a，則AB=2BC=2a，AD=AB=2a．設(shè)AH=x，則HC=HD=AD﹣AH=2a﹣x．在Rt△ABC中，由勾股定理得AC²=3a²．

在Rt△ACH中，由勾股定理得AH²+AC²=HC²，即x²+3a²=（2a﹣x）²．解得x=a，即AH=a．求得HC的值后，利用sin∠ACH=AH：HC求值．

【解答】（1）證明：①在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，

∴∠ABC=60°．

在等邊△ABD中，∠BAD=60°，

∴∠BAD=∠ABC=60°．

∵E為AB的中點，

∴AE=BE．

又∵∠AEF=∠BEC，

∴△AEF≌△BEC．

②在△ABC中，∠ACB=90°，E為AB的中點，

∴CE=AB，BE=AB．

∴CE=AE，

∴∠EAC=∠ECA=30°，

∴∠BCE=∠EBC=60°．

又∵△AEF≌△BEC，

∴∠AFE=∠BCE=60°．

又∵∠D=60°，

∴∠AFE=∠D=60°．

∴FC∥BD．

又∵∠BAD=∠ABC=60°，

∴AD∥BC，即FD∥BC．

∴四邊形BCFD是平行四邊形．

（2）解：∵∠BAD=60°，∠CAB=30°，

∴∠CAH=90°．

在Rt△ABC中，∠CAB=30°，設(shè)BC=a，

∴AB=2BC=2a．

∴AD=AB=2a．

設(shè)AH=x，則HC=HD=AD﹣AH=2a﹣x，

在Rt△ABC中，AC²=（2a）²﹣a²=3a²，

在Rt△ACH中，AH²+AC²=HC²，即x²+3a²=（2a﹣x）²，

解得x=a，即AH=a．

∴HC=2a﹣x=2a﹣a=a．

∴sin∠ACH==．

【點評】本題考查了：

（1）折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等；

（2）全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，平行線的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，正弦的概念求解．