Question

【題目】如圖在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=﹣ x+3與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．其中點(diǎn)P沿射線AB運(yùn)動(dòng)，速度為每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)Q沿射線AO運(yùn)動(dòng)，速度為每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度．以點(diǎn)Q為圓心，PQ長(zhǎng)為半徑作⊙Q．

（1）求證：直線AB是⊙Q的切線；
（2）過點(diǎn)A左側(cè)x軸上的任意一點(diǎn)C（m，0），作直線AB的垂線CM，垂足為M．若CM與⊙Q相切于點(diǎn)D，求m與t的函數(shù)關(guān)系式（不需寫出自變量的取值范圍）；
（3）在（2）的條件下，是否存在點(diǎn)C，直線AB、CM、y軸與⊙Q同時(shí)相切？若存在，請(qǐng)直接寫出此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖1中，連接QP．

在Rt△AOB中，OA=4，OB=3，

∴AB= =5，

∵AP=4t，AQ=5t，

∴ = = ，∵∠PAQ=∠BAO，

∴△PAQ∽△BAO，

∴∠APQ=∠AOB=90°，

∴QP⊥AB，

∴AB是⊙O的切線

（2）

解：①如圖2中，當(dāng)直線CM在⊙O的左側(cè)與⊙Q相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為D，則四邊形PQDM是正方形．

易知PQ=DQ=3t，CQ= 3t= ，

∵OC+CQ+AQ=4，

∴m+ t+5t=4，

∴m=4﹣ t．

②如圖3中，當(dāng)直線CM在⊙O的右側(cè)與⊙Q相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為D，則四邊形PQDM是正方形．

∵OC+AQ﹣CQ=4，

∴m+5t﹣ t=4，

∴m=4﹣ t

（3）

解：存在．理由如下：

如圖4中，當(dāng)⊙Q在y則的右側(cè)與y軸相切時(shí)，3t+5t=4，t= ，

由（2）可知，m=﹣ 或 ．

如圖5中，當(dāng)⊙Q在y則的左側(cè)與y軸相切時(shí)，5t﹣3t=4，t=2，

由（2）可知，m=﹣ 或 ．

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣ ，0）或（ ，0）或（﹣ ，0）或（ ，0）

【解析】（1）只要證明△PAQ∽△BAO，即可推出∠APQ=∠OB=90°，推出QP⊥AB，推出AB是⊙O的切線；（2）分兩種情形求解即可：①如圖2中，當(dāng)直線CM在⊙O的左側(cè)與⊙Q相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為D，則四邊形PQDM是正方形．②如圖3中，當(dāng)直線CM在⊙O的右側(cè)與⊙Q相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為D，則四邊形PQDM是正方形．分別列出方程即可解決問題．（3）分兩種情形討論即可，一共有四個(gè)點(diǎn)滿足條件．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的直線與圓的三種位置關(guān)系和切線的性質(zhì)定理，需要了解直線與圓有三種位置關(guān)系：無(wú)公共點(diǎn)為相離；有兩個(gè)公共點(diǎn)為相交,這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點(diǎn)為相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)；切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑才能得出正確答案．