【題目】如圖,在ABCD中,延長CD到E,使DE=CD,連接BE交AD于點F,交AC于點G.

(1)求證:AF=DF;
(2)若BC=2AB,DE=1,∠ABC=60°,求FG的長.

【答案】
(1)

證明:連接BD、AE,

∵四邊形ABCD是平行四邊形,

∴AB∥CD,AB=CD,

∵DE=CD,

∴AB∥DE,AB=DE,

∴四邊形ABDE是平行四邊形,

∴AF=DF.


(2)

解:在BC上截取BN=AB=1,連接AN,

∵∠ABC=60°,

∴△ANB是等邊三角形,

∴AN=1=BN,∠ANB=∠BAN=60°,

∵BC=2AB=2,

∴CN=1=AN,

∴∠ACN=∠CAN= ×60°=30°,

∴∠BAC=90°,

由勾股定理得:AC= = ,

∵四邊形ABCD是平行四邊形,

∴AB∥CD,

∴△AGB∽△CGE,

= ,

AG=

在△BGA中,由勾股定理得:BG= = ,

= ,

∴GE= ,

BE= + =2 ,

∵四邊形ABDE是平行四邊形,

∴BF= BE= ,

∴FG= =


【解析】(1)連接AE、BD、根據(jù)AB∥CD,AB=CD=DE,得出平行四邊形ABDE,即可推出答案;(2)在BC上截取BN=AB=1,連接AN,推出△ANB是等邊三角形,求出CN=1=AN,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BAC=90°,由勾股定理求出AC,根據(jù)△AGB∽△CGE,得出 ,求出AG,在△BGA中,由勾股定理求出BG,求出GE、BE,根據(jù)平行四邊形BDEA求出BF,即可求出答案.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解三角形中位線定理的相關知識,掌握連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線;三角形中位線定理:三角形的中位線平行于三角形的第三邊,且等于第三的一半,以及對平行四邊形的性質(zhì)的理解,了解平行四邊形的對邊相等且平行;平行四邊形的對角相等,鄰角互補;平行四邊形的對角線互相平分.

練習冊系列答案
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【題目】如圖,P為⊙O外一點,PA、PB為⊙O的切線,A、B為切點,AC為⊙O的直徑,PO交于⊙O于點E.
(1)試判斷∠APB與∠BAC的數(shù)量關系;
(2)若⊙O的半徑為4,P是⊙O外一動點,是否存在點P,使四邊形PAOB為正方形?若存在,請求出PO的長,并判斷點P的個數(shù)及其滿足的條件;若不存在,請說明理由.

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C. 經(jīng)過0.25小時兩摩托車相遇

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A.②④
B.②③
C.①③④
D.①②④

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(2)如果把(1)中的“AB=AC”條件去掉,其余條件不變,那么∠DAE的度數(shù)改變嗎?為什么?

(3)如果把(1)中的“∠BAC=900”改成“∠BAC>900其余條件不變,試探究∠DAE∠BAC的數(shù)量關系式,試證明.

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