【題目】如圖,將矩形ABCD沿AH折疊,使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處.折痕與邊BC交于點(diǎn) H,

已知AD=8,HC:HB=3:5.

(1)求證:△HCP∽△PDA;

(2) 探究AB與HB之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;

(3)連結(jié)BP,動(dòng)點(diǎn)M在線(xiàn)段AP上(點(diǎn)M與點(diǎn)P、A不重合),動(dòng)點(diǎn)N在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上,且BN=PM,連結(jié)MN交PB于點(diǎn)F,作ME⊥BP于點(diǎn)E.試問(wèn)當(dāng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)過(guò)程中,線(xiàn)段EF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化?若變化,說(shuō)明理由;說(shuō)明理由;若不變,求出線(xiàn)段EF的長(zhǎng)度.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)AB=2BH.,理由見(jiàn)解析;(3) EF的長(zhǎng)度不變.

【解析】試題分析:(1)根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似可求證;

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論,由相似三角形的性質(zhì)可求出二者之間的關(guān)系;

3作MQ∥AB交PB于Q,可得MQP=ABP, 然后由折疊的性質(zhì)可知,∠APB=∠ABP,即MQP=APB根據(jù)等角對(duì)等邊可得MP=MQ,又BN=PM,根據(jù)等量代換可得MQ=BN,然后由平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例可求EF=PB,最后根據(jù)勾股定理求解.

試題解析:(1)由折疊的性質(zhì)可知,

∠APH=∠B=90°, ∴∠APD+∠HPC=90°,

又∠PHC+∠HPC=90°, ∴∠APD=∠PHC,

又∠D=∠C=90°,∴△HCP∽△PDA;

(2)AB=2BH.

∵HC:HB=3:5,設(shè)HC=3x,則HB=5x,

在矩形ABCD中,BC=AD=8 ,∴HC=3,則HB=5

由折疊的性質(zhì)可知HP=HB=5,AP=AB,

Rt△HCP,易得PC=4,

∵△HCP∽△PDA

,

∴AB=AP=10=2BH,即AB=2BH.

(3)EF的長(zhǎng)度不變.

作MQ∥AB交PB于Q, ∴∠MQP=∠ABP,

由折疊的性質(zhì)可知,∠APB=∠ABP,

∴∠MQP=∠APB,

∴MP=MQ,又BN=PM,∴MQ=BN,

MQAB,,

∴QF=FB,

MP=MQ,MEBP PE=QE,EF=PB

由(2)得,PC=4,BC=8,

PB==,

EF=

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