【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+x+c的圖象與y軸交于點A(0,4),與x軸交于點B、C,點C坐標為(8,0),連接AB、AC.

(1)請直接寫出二次函數(shù)y=ax2+x+c的表達式;

(2)判斷ABC的形狀,并說明理由;

(3)若點N在x軸上運動,當以點A、N、C為頂點的三角形是等腰三角形時,請直接寫出此時點N的坐標;

(4)若點N在線段BC上運動(不與點B、C重合),過點N作NMAC,交AB于點M,當AMN面積最大時,求此時點N的坐標.

【答案】(1)y=﹣x2+x+4;(2)ABC是直角三角形.(3)點N的坐標分別為(﹣8,0)、(8﹣4,0)、(3,0)、(8+4,0).(4)AMN面積最大時,N點坐標為(3,0).

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)待定系數(shù)法即可求得;

(2)根據(jù)拋物線的解析式求得B的坐標,然后根據(jù)勾股定理分別求得AB2=20,AC2=80,BC10,然后根據(jù)勾股定理的逆定理即可證得ABC是直角三角形.

(3)分別以A、C兩點為圓心,AC長為半徑畫弧,與x軸交于三個點,由AC的垂直平分線與x軸交于一個點,即可求得點N的坐標;

(4)設點N的坐標為(n,0),則BN=n+2,過M點作MDx軸于點D,根據(jù)三角形相似對應邊成比例求得MD=(n+2),然后根據(jù)SAMN=SABN﹣SBMN

得出關于n的二次函數(shù),根據(jù)函數(shù)解析式求得即可.

解:(1)二次函數(shù)y=ax2+x+c的圖象與y軸交于點A(0,4),與x軸交于點B、C,點C坐標為(8,0),

解得

拋物線表達式:y=﹣x2+x+4;

(2)ABC是直角三角形.

令y=0,則﹣x2+x+4=0,

解得x1=8,x2=﹣2,

點B的坐標為(﹣2,0),

由已知可得,

在RtABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20,

在RtAOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80,

BC=OB+OC=2+8=10

ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2

∴△ABC是直角三角形.

(3)A(0,4),C(8,0),

AC==4,

①以A為圓心,以AC長為半徑作圓,交x軸于N,此時N的坐標為(﹣8,0),

②以C為圓心,以AC長為半徑作圓,交x軸于N,此時N的坐標為(8﹣4,0)或(8+4,0)

③作AC的垂直平分線,交x軸于N,此時N的坐標為(3,0),

綜上,若點N在x軸上運動,當以點A、N、C為頂點的三角形是等腰三角形時,點N的坐標分別為(﹣8,0)、(8﹣4,0)、(3,0)、(8+4,0).

(4)設點N的坐標為(n,0),則BN=n+2,過M點作MDx軸于點D,

MDOA

∴△BMD∽△BAO,

=,

MNAC

=,

=,

OA=4,BC=10,BN=n+2

MD=(n+2),

SAMN=SABN﹣SBMN

=BNOA﹣BNMD

=(n+2)×4﹣×(n+2)2

=﹣(n﹣3)2+5,

AMN面積最大時,N點坐標為(3,0).

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組別

A

B

C

D

E

時間t(分鐘)

t<40

40t<60

60t<80

80t<100

t100

人數(shù)

12

30

a

24

12

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(2)畫出將ABC繞原點O按逆時針方向旋轉90°所得作的A2B2C2,并求出C2的坐標;

(3)在旋轉過程中,點A經(jīng)過的路徑為弧,那么的長為

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