Question

18．如圖，正方形ABCD，點E在AD上，將△CDE繞點C順時針旋轉90°至△CFG，點F，G分別為點D，E旋轉后的對應點，連接EG，DB，DF，DB與CE交于點M，DF與CG交于點N．
（1）求證BM=DN；
（2）直接寫出圖中已經存在的所有等腰直角三角形．

Answer 1

分析 （1）根據正方形的性質得∠DCB=90°，CD=CB，再根據旋轉的性質得CF=CD，∠ECG=∠DCF=90°，則可判斷△CDF為等腰直角三角形，所以∠CDF=∠CFD=45°，然后證明△BCM≌△DCN，則BM=DN；
（2）根據正方形的性質可判斷△ABD和△BCD為等腰直角三角形，根據旋轉的性質可判斷△CDF和△ECG為等腰直角三角形，然后判斷△BDF為腰直角三角形．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠DCB=90°，CD=CB，
∵△CDE繞點C順時針旋轉90°至△CFG，
∴CF=CD，∠ECG=∠DCF=90°，
∴△CDF為等腰直角三角形，
∴∠CDF=∠CFD=45°，
∵∠BCM+∠DCE=90°，∠DCN+∠DCE=90°，
∴∠BCM=∠DCN，
∵∠CBM=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°，
∴∠CBM=∠CDN，
在△BCM和△DCN中
$\left\{\begin{array}{l}{∠MBC=∠NDC}\\{CB=CD}\\{∠BCM=∠CDN}\end{array}\right.$，
∴△BCM≌△DCN，
∴BM=DN；
（2）解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴△ABD和△BCD為等腰直角三角形；
由（1）得△CDF為等腰三角形；
∵△CDE繞點C順時針旋轉90°至△CFG，
∴CE=CG，∠ECG=90°，
∴△ECG為等腰直角三角形；
∵△CBD和△CFD為等腰直角三角形；
∴△BDF為等腰直角三角形．

點評 本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了等腰直角三角形的判定方法和正方形的性質．