【題目】如圖,拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O(0,0),點(diǎn)A(1,1),點(diǎn)B(,0)

(1)求拋物線解析式;

(2)連接OA,過點(diǎn)AACOA交拋物線于C,連接OC,求AOC的面積;

(3)點(diǎn)My軸右側(cè)拋物線上一動點(diǎn),連接OM,過點(diǎn)MMNOMx軸于點(diǎn)N.問:是否存在點(diǎn)M,使以點(diǎn)O,M,N為頂點(diǎn)的三角形與(2)中的AOC相似,若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

【答案】(1);(2)4;(3),﹣54)或(,)或(,﹣

【解析】

(1)設(shè)交點(diǎn)式y=ax(x-),然后把A點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a即可得到拋物線解析式;

(2)延長CAy軸于D,如圖1,易得OA=,DOA=45°,則可判斷AOD為等腰直角三角形,所以OD=OA=2,則D(0,2),利用待定系數(shù)法求出直線AD的解析式為y=-x+2,再解方程組,得C(5,-3),然后利用三角形面積公式,利用SAOC=SCOD-SAOD進(jìn)行計算;

(3)如圖2,作MHx軸于H,AC=4,OA=,設(shè)M(x,-x2+x)(x>0),根據(jù)三角形相似的判定,由于∠OHM=OAC,則當(dāng)時,OHM∽△OAC,即;當(dāng)時,OHM∽△CAO,即,則分別解關(guān)于x的絕對值方程可得到對應(yīng)M點(diǎn)的坐標(biāo),由于OMH∽△ONM,所以求得的M點(diǎn)能以點(diǎn)O,M,N為頂點(diǎn)的三角形與(2)中的AOC相似.

1)設(shè)拋物線解析式為y=ax(x-),

A(1,1)代入得a1(1-)=1,解得a=-

∴拋物線解析式為y=-x(x-),

y=-x2+x;

(2)延長CAy軸于D,如圖1,

A(1,1),

OA=,DOA=45°,

∴△AOD為等腰直角三角形,

OAAC,

OD=OA=2,

D(0,2),

易得直線AD的解析式為y=-x+2,

解方程組,則C(5,-3),

SAOC=SCOD-SAOD=×2×5-×2×1=4;

(3)存在.如圖2,

MHx軸于H,AC=,OA=,

設(shè)M(x,-x2+x)(x>0),

∵∠OHM=OAC,

∴當(dāng)時,OHM∽△OAC,即,

解方程-x2+x =4xx1=0(舍去),x2=-(舍去),

解方程-x2+x =-4xx1=0(舍去),x2=,此時M點(diǎn)坐標(biāo)為(,-54);

當(dāng)時,OHM∽△CAO,即,

解方程-x2+x=xx1=0(舍去),x2=,此時M點(diǎn)的坐標(biāo)為(),

解方程-x2+x=-xx1=0(舍去),x2=,此時M點(diǎn)坐標(biāo)為(,-);

MNOM,

∴∠OMN=90°,

∴∠MON=HOM,

∴△OMH∽△ONM,

∴當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(,-54)或(,)或(,-)時,以點(diǎn)O,M,N為頂點(diǎn)的三角形與(2)中的AOC相似.

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證明你的結(jié)論.(3)運(yùn)用(1)(2)解答中積累的經(jīng)驗和知識,完成下題:

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(1)當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動到邊BC的中點(diǎn)時,求點(diǎn)E的坐標(biāo);

(2)連接EF,求∠EFC的正切值;

(3)如圖2,將CEF沿EF折疊,點(diǎn)C恰好落在邊OB上的點(diǎn)G處,求此時反比例函數(shù)的解析式.

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A. BD=CEB. ∠ABD=∠ACEC. ∠BAD=∠CAED. ∠BAC=∠DAE

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1)當(dāng)A、B在直線l同側(cè)時,如圖1,

證明:AECCDB;

②若AE=3,BD=4,計算△ACB的面積.(提示:間接求)

(2)當(dāng)A. B在直線l兩側(cè)時,如圖2,若AE=3,BD=4,連接ADBE直接寫出梯形ADBE的面積___.

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1)求證△ABD≌△ACE

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(1)如圖1,求證:四邊形AECF為菱形;

(2)如圖2,若FC=2DF,連接AC交EF于點(diǎn)O,連接DO、D'O,在不添加任何輔助線的情況下,請直接寫出圖2中所有等邊三角形.

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14a34﹣(3a62

2)﹣6xyx2y

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5)(﹣120+22

6201822017×2019(用公式)

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