Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△ABC的頂點(diǎn)A，C分別在y軸，x軸上，∠ACB=90°，OA= ，拋物線y=ax2﹣ax﹣a經(jīng)過點(diǎn)B（2， ），與y軸交于點(diǎn)D．

（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)是否在拋物線上？請(qǐng)說明理由；
（3）延長BA交拋物線于點(diǎn)E，連接ED，試說明ED∥AC的理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：方法一：把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的表達(dá)式，得 =a×22﹣2a﹣a，

解得a= ，

∴拋物線的表達(dá)式為y= x2﹣ x﹣

（2）

解：方法一：連接CD，過點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，則∠BCF+∠CBF=90°

∵∠ACB=90°，

∴∠ACO+∠BCF=90°，

∴∠ACO=∠CBF，

∵∠AOC=∠CFB=90°，

∴△AOC∽△CFB，

∴ = ，

設(shè)OC=m，則CF=2﹣m，則有 = ，

解得m1=m2=1，

∴OC=CF=1，

當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣ ，

∴OD= ，

∴BF=OD，

∵∠DOC=∠BFC=90°，

∴△OCD≌△FCB，

∴DC=CB，∠OCD=∠FCB，

∴點(diǎn)B、C、D在同一直線上，

∴點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于直線AC對(duì)稱，

∴點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)在拋物線上

方法二：

設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（t，0），B點(diǎn)關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)為B′，

∵∠ACB=90°，

∴AC⊥BC，

∴KAC×KBC=﹣1，

∵OA= ，∴A（0， ），B（2， ），C（t，0），

∴ =﹣1，

∴t（t﹣2）=﹣1，

∴t=1，C（1，0），

∴ ， ，

∴B′x=0，B′Y=﹣ ，

∴B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)即為點(diǎn)D

（3）

解：方法一：

過點(diǎn)E作EG⊥y軸于點(diǎn)G，設(shè)直線AB的表達(dá)式為y=kx+b，則 ，

解得k=﹣ ，

∴y=﹣ x+ ，代入拋物線的表達(dá)式﹣ x+ = x2﹣ x﹣ ．

解得x=2或x=﹣2，

當(dāng)x=﹣2時(shí)y=﹣ x+ =﹣ ×（﹣2）+ = ，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣2， ），

∵tan∠EDG= = = ，

∴∠EDG=30°

∵tan∠OAC= = = ，

∴∠OAC=30°，

∴∠OAC=∠EDG，

∴ED∥AC

方法二：

∵A（0， ），B（2， ），

∴ ，

解得：x1=2（舍），x2=﹣2，

∴E（﹣2， ），D（0，﹣ ），A（0， ），C（1，0），

∴KED= ，KAC= ，

∴KED=KAC，

∴ED∥AC．

【解析】方法一：（1）把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的表達(dá)式即可求得．（2）通過△AOC∽△CFB求得OC的值，通過△OCD≌△FCB得出DC=CB，∠OCD=∠FCB，然后得出結(jié)論．（3）設(shè)直線AB的表達(dá)式為y=kx+b，求得與拋物線的交點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后通過解三角函數(shù)求得結(jié)果．
方法二：（1）略．（2）利用垂直公式及中點(diǎn)公式求出點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)B’坐標(biāo)，并得出B’與點(diǎn)D重合．（3）分別求出點(diǎn)A，C，E，D坐標(biāo)，并證明直線ED與AC斜率相等．