Question

【題目】如圖1，拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點A、點B（點A在點B左側），與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點，已知點A、點B的坐標分別為A（﹣1，0）、B（3，0）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）在直線BC上方的拋物線上找一點P，使△PBC的面積最大，求P點的坐標；
（3）如圖2，連接BD、CD，拋物線的對稱軸與x軸交于點E，過拋物線上一點M作MN⊥CD，交直線CD于點N，求當∠CMN=∠BDE時點M的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將A（﹣1，0）、B（3，0）兩點代入y=ax2+bx+3得： ，解得：a﹣1，b=2．

∴拋物線的表達式為：y=﹣x2+2x+3

（2）

解：由題意設P（x，﹣x2+2x+3），過點P作x軸的垂線，交直線BC于點Q．

將x=0代入拋物線的解析式得：y=3，

∴點C的坐標為（0，3）．

設直線BC的解析式為y=kx+b，將點B，C的坐標代入得： ，

解得：k=﹣1，b=3．

∴直線CB解析式：y=﹣x+3，則Q（x，﹣x+3）

∴PQ=﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x．

∴S△BCD= PQOB= ×（﹣x2+3x）×3=﹣ （x﹣ ）2+ ．

∴當x= 時，S△BCD取最大值，

此時P（ ， ）．

（3）

解：∵拋物線y=﹣（x﹣3）（x+1）=﹣x2+2x+3與與y軸交于點C，

∴C點坐標為（0，3），頂點（1，4），E（1，0）

∴tan∠BDE= = ．

①當點M在對稱軸的右側時．

（i）作當點N在射線CD上時，如圖2，過點N作y軸的垂線，垂足為G，

過點M作GN的垂線，垂足為H，則△CNG，△MNH均為等腰直角三角形．

∵∠CMN=∠BDE，

∴tan∠CMN=tan∠BDE= = ．

∴△CNG，△MNH相似比為1：2

設CG=a，則NG=a，NH=NH=2a，

∴M（3a，3+a﹣2a），即M（3a，3﹣a），

將點M的坐標代入拋物線的解析式得：﹣（3a）2+2×3a+3=3﹣a，解得：a=0（舍去）或a=

此時M（ ， ）．

（ii）若點N在射線DC上，如圖3，過點N作x軸的垂線l，分別過點M、C作GN的垂線，垂足為H、G，則△CNG，△MNH均為等腰直角三角形，

∵∠CMN=∠BDE，

∴tan∠CMN=tan∠BDE= = ，

∴△CNG與△MNH相似比為1：2

設CG=a，則NG=a，NH=NH=2a，

∴M（a，3﹣a﹣2a），即M（a，3﹣3a），

將點M的坐標代入拋物線的解析式得：﹣a2+2a+3=3﹣3a，解得：a=0（舍去）或a=5，此時M（5，12）

②當點M在對稱軸左側時．

∵∠CMN=∠BDE＜45°，

∴∠MCN＞45°，

∵拋物線左側任意一點K，都有∠KCN＜45°，

∴點M不存在．

綜上可知，點M坐標為（ ， ）或（5，12）

【解析】（1）將A（﹣1，0）、B（3，0）兩點代入得到關于a、b的方程組，可求得a、b的值；（2）由題意設P（x，﹣x2+2x+3），過點P作x軸的垂線，交直線BC于點Q．先求得直線BC的解析式，則得到Q（x，﹣x+3），然后列出△BCD的面積與x的關系式，利用配方法可求得點P的橫坐標以及△CBD的面積的最大值；（3）首先求得C點坐標為（0，3），頂點（1，4），E（1，0）則tan∠BDE= ．①當點M在對稱軸的右側時，作當點N在射線CD上時，如圖1，過點N作y軸的垂線，垂足為G，過點M作GN的垂線，垂足為H，則△CNG，△MNH均為等腰直角三角形．設CG=a，用含a的式子表示點M的坐標，然后將點M的坐標代入拋物線的解析式可求得a的值；若點N在射線DC上，如圖，過點N作x軸的垂線l，分別過點M、C作GN的垂線，垂足為H、G，則△CNG，△MNH均為等腰直角三角形，同理可求得此時a的值；②當點M在對稱軸左側時，拋物線左側任意一點K，都有∠KCN＜45°．