Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，P是對(duì)角線AC上任一點(diǎn)（不與A，C重合），連接BP，DP，過(guò)P作PE∥CD交AD于E，過(guò)P作PF∥AD交CD于F，連接EF．
（1）求證：△ABP≌△ADP；
（2）若BP=EF，求證：四邊形EPFD是矩形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵點(diǎn)P是菱形ABCD對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，

∴∠DAP=∠PAB，AD=AB，

∵在△APB和△APD中， ，

∴△ABP≌△ADP（SAS）

（2）證明：∵PE∥CD，PF∥AD，

∴四邊形EPFD是平行四邊形，

由（1）得：△ABP≌△ADP，

∴BP=DP，

又∵BP=EF，

∴DP=EF，

∴四邊形EPFD是矩形

【解析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出∠DAP=∠PAB，AD=AB，再利用全等三角形的判定得出△ABP≌△ADP即可；（2）先證明四邊形EPFD是平行四邊形，再由全等三角形的性質(zhì)得出BP=DP，由已知證出DP=EF，即可得出結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用菱形的性質(zhì)和矩形的判定方法，掌握菱形的四條邊都相等；菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；菱形被兩條對(duì)角線分成四個(gè)全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對(duì)角線長(zhǎng)的積的一半；有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形；有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；兩條對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形即可以解答此題．