Question

【題目】已知，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、點(diǎn)F分別為AD、BC的中點(diǎn)，連接EF．

（1）如圖1，AB∥CD，連接AF并延長(zhǎng)交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則AB、CD、EF之間的數(shù)量關(guān)系為　 　；

（2）如圖2，∠B＝90°，∠C＝150°，求AB、CD、EF之間的數(shù)量關(guān)系？

（3）如圖3，∠ABC＝∠BCD＝45°，連接AC、BD交于點(diǎn)O，連接OE，若AB＝，CD＝2，BC＝6，則OE＝　 　．

Answer 1

【答案】（1）AB+CD＝2EF；（2）4EF2＝AB2+CD2+ABCD，證明詳見解析；（3）.

【解析】

(1)根據(jù)三角形的中位線和全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可；

(2)如圖2中，作CK⊥BC，連接AF，延長(zhǎng)AF交CK于K．連接DK，作DH⊥CK于H．首先證明△AFB≌△KFC，推出AB＝CK，再利用勾股定理，三角形的中位線定理即可解決問(wèn)題；

(3)如圖3中，以點(diǎn)B為原點(diǎn)，BC為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示．想辦法求出點(diǎn)E、O的坐標(biāo)即可解決問(wèn)題；

解：(1)結(jié)論：AB+CD＝2EF，

理由：如圖1中，

∵點(diǎn)E、點(diǎn)F分別為AD、BC的中點(diǎn)，

∴BF＝FC，AE＝ED，

∵AB∥CD，

∴∠ABF＝∠GCF，

∵∠BFA＝∠CFG，

∴△ABF≌△GCF（ASA），

∴AB＝CG，AF＝FG，

∵AE＝ED，AF＝FG，

∴2EF＝DG＝DC+CG＝DC+AB；

∴AB+CD＝2EF；

(2)如圖2中，作CK⊥BC，連接AF，延長(zhǎng)AF交CK于K．連接DK，作DH⊥CK于H．

∵∠ABF＝∠KCF，BF＝FC，∠AFB＝∠CFK，

∴△AFB≌△KFC，

∴AB＝CK，AF＝FK，

∵∠BCD＝150°，∠BCK＝90°，

∴∠DCK＝120°，

∴∠DCH＝60°，

∴CH＝CD，DH＝CD，

在Rt△DKH中，DK2＝DH2+KH2＝(CD)2+(AB+CD)2＝AB2+CD2+ABCD，

∵AE＝ED，AF＝FK，

∴EF＝DK，

∴4EF2＝DK2，

∴4EF2＝AB2+CD2+ABCD．

(3)如圖3中，以點(diǎn)B為原點(diǎn)，BC為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示．

由題意：A(1，1)，B(0，0)，D(4，2)，

∵AE＝ED，

∴E(，)，

∵AC的解析式為y＝-x+，BD的解析式為y＝x，

由，解得，

∴O(，)，

∴OE＝＝.

故答案為：(1)AB+CD＝2EF；(2)4EF2＝AB2+CD2+ABCD，證明詳見解析；(3).