【題目】如圖,拋物線與x軸交于點A(﹣, 0),點B(2,0),與y軸交于點C(0,1),連接BC.

(1)求拋物線的解析式;

(2)N為拋物線上的一個動點,過點NNP⊥x軸于點P,設點N的橫坐標為t(﹣<t<2),求△ABN的面積st的函數(shù)解析式;

(3)若0<t<2t≠0時,△OPN∽△COB,求點N的坐標.

【答案】(1)y=﹣x2+x+1;(2)S=﹣t2+t+;(3)點N的坐標為(1,2)

【解析】

(1)設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,然后利用待定系數(shù)法即可得;

(2)當<t<2時,點Nx軸上方,則NP等于點N的縱坐標,求出AB的長,然后利用三角形面積公式即可得;

(3)根據相似三角形的性質可得PN=2PO,由于PN=﹣t2+t+1,PO=|t|=t,可得關于t的方程,解這個方程即可解決這個問題.

(1)設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,由題意可得: ,

解得:,

∴拋物線的函數(shù)關系式為y=﹣x2+x+1;

(2)當﹣<t<2時,yN>0,

NP=|yN|=yN=﹣t2+t+1,

S=ABPN

=×(2+)×(﹣t2+t+1)

=(﹣t2+t+1)

=﹣t2+t+;

(3)∵△OPN∽△COB,

,

PN=2PO,

0<t<2時,PN=|yN|=yN=﹣t2+t+1,PO=|t|=t,

t2+t+1=2t,

整理得:3t2﹣t﹣2=0,

解得:t1=﹣,t2=1.

<0,0<1<2,

t=1,此時點N的坐標為(1,2),

故點N的坐標為(1,2).

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其中正確結論的個數(shù)為( 。

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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