【題目】如圖,直角梯形ABCD中,∠BAD=∠CDA=90°,AB=,CD=2,過A,B,D三點(diǎn)的O分別交BCCD于點(diǎn)E,M,且CE=2,下列結(jié)論:①DM=CM;②弧AB=弧EM;③☉O的直徑為2;④AE=.其中正確的結(jié)論是( )

A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④

【答案】B

【解析】

連接BD,BM,AM,EM,DE,利用三個(gè)角為直角的四邊形為矩形得到ABMD為矩形,利用矩形的對(duì)邊相等得到AB=DM,進(jìn)而可證明DM=CM,故選項(xiàng)正確;在RtDEC中,由MCD的中點(diǎn),利用斜邊上的中線等于斜邊的一半得到DMEM相等,從而AB=EM,所以弧AB=EM,故選項(xiàng)正確;先證明四邊形AMCB為平行四邊形,可得出AM=BC,等量代換得到BC=BD,由BD為圓的直徑,可得△DEC為直角三角形,利用勾股定理可求出DE的長(zhǎng),設(shè)BE=x,則BD=BC=BE+EC=x+2,在RtBDE中,利用勾股定理列出關(guān)于x的方程,求出方程的解得到x的值,確定出BC的長(zhǎng),即為BD的長(zhǎng),確定出圓的直徑,即可對(duì)于選項(xiàng)作出判斷;在RtAEM中,由AMME的長(zhǎng),利用勾股定理求出AE的長(zhǎng),即可對(duì)于選項(xiàng)作出判斷.

連接BDBM,AM,EM,DE,

∵∠BAD=90°,

BD為圓的直徑,

∴∠BMD=90°

∴∠BAD=CDA=BMD=90°,

∴四邊形ABMD矩形,

AB=DM,

又∵CD=2AB,

CD=2DM,即DM=MC;

故選項(xiàng)正確;

RtDEC中,MDC中點(diǎn),

EM=DM=CD=

EM=DM,

AB=DM,

AB=DM,

AB=EM,

故選項(xiàng)正確;

ABMC,AB=MC,

四邊形ABCM是平行四邊形,

AM=BC,又BD=AM,

BD=BC,

BD是直徑,

∴∠BED=90°,即DEC=90°,

EC=2,DC=2,

根據(jù)勾股定理得:DE==2,

設(shè)BE=x,BD=BC=BE+EC=x+2,

Rt△BDE中,根據(jù)勾股定理得:BE2+DE2=BD2,即x2+20=(x+2)2,

解得:x=4,

BD=6,故選項(xiàng)錯(cuò)誤;

Rt△AEM中,AM=6,EM=,

根據(jù)勾股定理得:AE==

故選項(xiàng)正確;

則正確的選項(xiàng)為:①②④.

故選B.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知某舞臺(tái)的寬為30米,一次演出時(shí)兩位主持人分別站在舞臺(tái)上的兩個(gè)黃金分割點(diǎn)處,如圖,則這兩位主持人之間的距離約為_________米.

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(2)△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°所掃過的面積;

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