Question

【題目】已知：A、O、B三點在同一條直線上，過O點作射線OC，使∠AOC：∠BOC＝1：2，將一直角三角板的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．

（1）將圖1中的三角板繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，使得ON落在射線OB上，此時三角板旋轉(zhuǎn)的角度為　 　度；

（2）繼續(xù)將圖2中的三角板繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，使得ON在∠AOC的內(nèi)部．試探究∠AOM與∠NOC之間滿足什么等量關系，并說明理由；

（3）將圖1中的三角板繞點O按5°每秒的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周的過程中，當直角三角板的直角邊OM所在直線恰好平分∠BOC時，時間t的值為　 （直接寫結(jié)果）．

Answer 1

【答案】（1）90°；（2）30°；（3）12秒或48秒．

【解析】

（1）依據(jù)圖形可知旋轉(zhuǎn)角=∠NOB，從而可得到問題的答案；

（2）先求得∠AOC的度數(shù)，然后依據(jù)角的和差關系可得到∠NOC=60°-∠AON，∠AOM=90°-∠AON，然后求得∠AOM與∠NOC的差即可；

（3）可分為當OM為∠BOC的平分線和當OM的反向延長為∠BOC的平分線兩種情況，然后再求得旋轉(zhuǎn)的角度，最后，依據(jù)旋轉(zhuǎn)的時間=旋轉(zhuǎn)的角度÷旋轉(zhuǎn)的速度求解即可．

（1）由旋轉(zhuǎn)的定義可知：旋轉(zhuǎn)角＝∠NOB＝90°．

故答案為：90°

（2）∠AOM﹣∠NOC＝30°．

理由：∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOC+∠BOC＝180°，

∴∠AOC＝60°．

∴∠NOC＝60°﹣∠AON．

∵∠NOM＝90°，

∴∠AOM＝90°﹣∠AON，

∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°．

（3）如圖1所示：當OM為∠BOC的平分線時，

∵OM為∠BOC的平分線，

∴∠BOM＝∠BOC＝60°，

∴t＝60°÷5°＝12秒．

如圖2所示：當OM的反向延長為∠BOC的平分線時，

∵ON為為∠BOC的平分線，

∴∠BON＝60°．

∴旋轉(zhuǎn)的角度＝60°+180°＝240°．

∴t＝240°÷5°＝48秒．

故答案為：12秒或48秒．