【題目】如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,分別以AB,CD為邊向外側(cè)作等邊三角形ABE和等邊三角形DCF,連接AF,DE.
(1)求證:AF=DE;
(2)若∠BAD=45°,AB=a,△ABE和△DCF的面積之和等于梯形ABCD的面積,求BC的長.

【答案】
(1)證明:在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,

∴∠BAD=∠CDA,

而在等邊三角形ABE和等邊三角形DCF中,

AB=AE,DC=DF,且∠BAE=∠CDF=60°,

∴AE=DF,∠EAD=∠FDA,AD=DA,

∴△AED≌△DFA(SAS),

∴AF=DE


(2)解:如圖作BH⊥AD,CK⊥AD,則有BC=HK,

∵∠BAD=45°,

∴∠HAB=∠KDC=45°,

∴AB= BH= AH,

同理:CD= CK= KD,

∵S梯形ABCD= ,AB=a,

∴S梯形ABCD= = ,

而S△ABE=S△DCF= a2

=2× a2,

∴BC= a.


【解析】(1)根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定方法證明△AED≌△DFA即可;(2)如圖作BH⊥AD,CK⊥AD,利用給出的條件和梯形的面積公式即可求出BC的長.
【考點(diǎn)精析】掌握等邊三角形的性質(zhì)和等腰梯形的性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°;等腰梯形的兩腰相等;同一底上的兩個角相等;兩條對角線相等.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】張老師為了了解本年級甲班和乙班的數(shù)學(xué)成績某次測驗后,隨機(jī)從兩班中各抽取了10份試卷,成績(單位:分)記錄如下:

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乙班:99,99,98,94,92,94,90,89,98,97.

試用你學(xué)過的知識,從平均數(shù)、方差兩方面對兩個班這次測驗成績進(jìn)行簡要分析.

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(1)將圖1中的三角板繞點(diǎn)O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至圖2的位置,使得ON落在射線OB上,此時三角板旋轉(zhuǎn)的角度為   度;

(2)繼續(xù)將圖2中的三角板繞點(diǎn)O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至圖3的位置,使得ON在∠AOC的內(nèi)部.試探究∠AOM與∠NOC之間滿足什么等量關(guān)系,并說明理由;

(3)將圖1中的三角板繞點(diǎn)O按5°每秒的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周的過程中,當(dāng)直角三角板的直角邊OM所在直線恰好平分∠BOC時,時間t的值為  (直接寫結(jié)果).

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【題目】水平桌面上有甲、乙、丙三個圓柱形容器(容器足夠高),底面半徑之比為,用兩個相同的管子在容器的高度處連通(即管子底端離容器底).現(xiàn)三個容器中,只有甲中有水,水位高,如圖所示.若每分鐘同時向乙和丙注入相同量的水,開始注水分鐘,乙的水位上升,則開始注入__________分鐘的水量后,甲與乙的水位高度之差是

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【題目】如圖,AE切⊙O于點(diǎn)E,AT交⊙O于點(diǎn)M,N,線段OE交AT于點(diǎn)C,OB⊥AT于點(diǎn)B,已知∠EAT=30°,AE=3 ,MN=2

(1)求∠COB的度數(shù);
(2)求⊙O的半徑R;
(3)點(diǎn)F在⊙O上( 是劣弧),且EF=5,把△OBC經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)和相似變換后,使它的兩個頂點(diǎn)分別與點(diǎn)E,F(xiàn)重合.在EF的同一側(cè),這樣的三角形共有多少個?你能在其中找出另一個頂點(diǎn)在⊙O上的三角形嗎?請在圖中畫出這個三角形,并求出這個三角形與△OBC的周長之比.

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(1)用含t的代數(shù)式表示P到點(diǎn)A和點(diǎn)C的距離:PA=________ , PC=________。

(2)當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),向點(diǎn)C移動,點(diǎn)Q以每秒3個單位從點(diǎn)C出發(fā),向終點(diǎn)A移動,請求出經(jīng)過幾秒點(diǎn)P與點(diǎn)Q兩點(diǎn)相遇?

(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到B點(diǎn)時,點(diǎn)QA點(diǎn)出發(fā),以每秒3個單位的速度向C點(diǎn)運(yùn)動,Q點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)后,再立即以同樣的速度返回,運(yùn)動到終點(diǎn)A,在點(diǎn)Q開始運(yùn)動后,P、Q兩點(diǎn)之間的距離能否為2個單位?如果能,請求出此時點(diǎn)P表示的數(shù);如果不能,請說明理由。

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(1)求證:BE=BF;

(2)如圖2,連接CE,在不添加任何輔助線的條件下,直接寫出圖中所有的等腰三角形.

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