Question

【題目】已知二次函數的圖象( 記為拋物線) 頂點為M,直線:y=2x-a與x軸，y軸分別交于點A,B.

(1)若拋物線與x軸只有一個公共點，求a的值；

（2）當a＞0時，設△ABM的面積為S，求S與a的函數關系式；

（3）將二次函數的圖象繞點P（t,-2）旋轉180°得到二次函數的圖象記為拋物線,頂點為N。

①若點N恰好落在直線上，求a 與t 滿足的關系；

②當－2≤x≤1時，旋轉前后的兩個二次函數y的值都會隨x的值得增大而減小，求t 的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）a=-2；（2）S=a；（3）①a=2t；②t≤.

【解析】

（1）拋物線與x軸只有一個交點，即只有頂點M在x軸上，故M的縱坐標為0；
（2）設直線與二次函數的圖象的對稱軸x=1交于點C,則C（1,2-a），根據S=即可得S與a的函數關系式；
（3）①根據題意，點M繞點P（t，-2）旋轉180°得到點N，所以MP=NP，即P為MN中點，根據中點坐標公式可得點N的坐標（2t-1，a-2），代入直線:y=2x-a即可求a與t的關系式；
②旋轉前的拋物線對稱軸為直線x=1，要滿足在-2≤x≤1時y隨x的增大而減小，即在對稱軸左側拋物線下降，故開口向上；則旋轉后的拋物線開口向下，對稱軸必須在x=-2的左側，即求出t的范圍．

解：（1）

拋物線的頂點M的坐標為（1，-a-2）．

∵二次函數的圖象與x軸只有一個公共點

∴頂點M在x軸上

∴-a-2=0，

∴a=-2 ；

（2）∵y=2x-a與x、y軸分別交于A、B兩點

∴A（，0），B（0，）

設直線與二次函數的圖象的對稱軸x=1交于點C,則C（1,2-a），CM=(2-a)-（-a-2）=4

∴S= ；

（3）①根據題意得，拋物線的頂點N與拋物線的頂點M關于P（t，-2）成中心對稱，

∴頂點N坐標為（2t-1a-2）

∵點N恰好落在直線上

∴a-2=2(2t-1)-a

∴a=2t ；

②∵旋轉前拋物線對稱軸為直線x=1
∴當a＞0拋物線開口向上時，當－2≤x≤1時,拋物線的y的值隨x的值增大而減小

∴旋轉后拋物線開口向下，且頂點N（2t-1，a-2）
∵要滿足在-2≤x＜1的范圍內y隨x增大而減小，即拋物線下降
∴對稱軸直線x=2t-1需在x=-2左側
∴2t-1≤-2
解得：t≤

∴當t≤時拋物線的y的值隨x的值增大而減小.

故答案為：（1）a=-2；（2）S=a；（3）①a=2t；②t≤.