Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣6，0）．如圖1，正方形OBCD的頂點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)C在第二象限．現(xiàn)將正方形OBCD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α得到正方形OEFG．

（1）如圖2，若α=60°，OE=OA，求直線EF的函數(shù)表達(dá)式；

（2）若α為銳角，tanα=，當(dāng)AE取得最小值時(shí)，求正方形OEFG的面積；

（3）當(dāng)正方形OEFG的頂點(diǎn)F落在y軸上時(shí)，直線AE與直線FG相交于點(diǎn)P，△OEP的其中兩邊之比能否為：1？若能，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，試說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，P1（0，6），P2（﹣6，18），P3（﹣18，36），P4（﹣6，0），P5（﹣18，6）．

【解析】

試題分析：（1）先判斷出△AEO為正三角形，再根據(jù)銳角三角函數(shù)求出OM即可；

（2）判斷出當(dāng)AE⊥OQ時(shí)，線段AE的長(zhǎng)最小，用勾股定理計(jì)算即可；

（3）由△OEP的其中兩邊之比為：1分三種情況進(jìn)行計(jì)算即可．

試題解析：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥OA于點(diǎn)H，EF與y軸的交點(diǎn)為M．

∵OE=OA，α=60°，∴△AEO為正三角形，∴OH=3，EH==，∴E（﹣3，）．

∵∠AOM=90°，∴∠EOM=30°．

在Rt△EOM中，∵cos∠EOM=，即，∴OM=，∴M（0，）．

設(shè)直線EF的函數(shù)表達(dá)式為，∵該直線過(guò)點(diǎn)E（﹣3，），∴=，解得，所以，直線EF的函數(shù)表達(dá)式為．

（2）如圖2，射線OQ與OA的夾角為α（ α為銳角，tanα=）．

無(wú)論正方形邊長(zhǎng)為多少，繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)角α后得到正方

形OEFG的頂點(diǎn)E在射線OQ上，∴當(dāng)AE⊥OQ時(shí)，線段AE的長(zhǎng)最�。�

在Rt△AOE中，設(shè)AE=a，則OE=2a，∴，解得，（舍去），∴OE=2a=，∴S正方形OEFG==．

（3）設(shè)正方形邊長(zhǎng)為m．

當(dāng)點(diǎn)F落在y軸正半軸時(shí)．如圖3，當(dāng)P與F重合時(shí)，△PEO是等腰直角三角形，有或．

在Rt△AOP中，∠APO=45°，OP=OA=6，∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（0，6）．

在圖3的基礎(chǔ)上，當(dāng)減小正方形邊長(zhǎng)時(shí)，點(diǎn)P在邊FG 上，△OEP的其中兩邊之比不可能為：1；

當(dāng)增加正方形邊長(zhǎng)時(shí)，存在（圖4）和（圖5）兩種情況．

如圖4，△EFP是等腰直角三角形，有=，即=，此時(shí)有AP∥OF．

在Rt△AOE中，∠AOE=45°，∴OE=OA=，∴PE=OE=12，PA=PE+AE=18，∴點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（﹣6，18）．

如圖5，過(guò)P作PR⊥x軸于點(diǎn)R，延長(zhǎng)PG交x軸于點(diǎn)H．設(shè)PF=n．

在Rt△POG中，==，在Rt△PEF中，=，當(dāng)時(shí)，∴，∴=，得n=2m．

∵EO∥PH，∴△AOE∽△AHP，∴，∴AH=4OA=24，即OH=18，∴m=．

在等腰Rt△PRH中，PR=HR=PH=36，∴OR=RH﹣OH=18，∴點(diǎn)P3的坐標(biāo)為（﹣18，36）．

當(dāng)點(diǎn)F落在y軸負(fù)半軸時(shí)，如圖6，P與A重合時(shí)，在Rt△POG中，OP=OG，又∵正方形OGFE中，OG=OE，∴OP=OE，∴點(diǎn)P4的坐標(biāo)為（﹣6，0）．

在圖6的基礎(chǔ)上，當(dāng)正方形邊長(zhǎng)減小時(shí)，△OEP的其中兩邊之比不可能為：1；當(dāng)正方形邊長(zhǎng)增加時(shí)，存在（圖7）這一種情況．

如圖7，過(guò)P作PR⊥x軸于點(diǎn)R，設(shè)PG=n．

在Rt△OPG中，=，在Rt△PEF中，==．

當(dāng)時(shí)，∴，∴=，∴n=2m，由于NG=OG=m，則PN=NG=m，∵OE∥PN，∴△AOE∽△ANP，∴=1，即AN=OA=6．

在等腰Rt△ONG中，ON=m，∴12=m，∴m=，在等腰Rt△PRN中，RN=PR=6，∴點(diǎn)P5的坐標(biāo)為（﹣18，6）．

所以，△OEP的其中兩邊的比能為：1，點(diǎn)P的坐標(biāo)是：P1（0，6），P2（﹣6，18），P3（﹣18，36），P4（﹣6，0），P5（﹣18，6）．