【題目】如圖,已知拋物線與直線AB相交于A(﹣3,0),B(0,3)兩點(diǎn).
(1)求這條拋物線的解析式;
(2)設(shè)C是拋物線對(duì)稱軸上的一動(dòng)點(diǎn),求使∠CBA=90°的點(diǎn)C的坐標(biāo);
(3)探究在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得△APB的面積等于3?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1);(2)C(﹣1,4);(3)(﹣1,4)或(﹣2,3)或(,)或(,).
【解析】
試題分析:(1)把點(diǎn)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式,求出b和c的值即可;
(2)過點(diǎn)B作CB⊥AB,交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)C,過點(diǎn)C作CE⊥y軸,垂足為點(diǎn)E,求出點(diǎn)C的橫坐標(biāo),再求出OE的長(zhǎng),即可得到點(diǎn)C的縱坐標(biāo);
(3)假設(shè)在在拋物線上存在點(diǎn)P,使得△APB的面積等于3,連接PA,PB,過P作PD⊥AB于點(diǎn)D,作PF∥y軸交AB于點(diǎn)F,在Rt△OAB中,易求AB=,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,),設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(m,m+3),再分兩種情況討論:①當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上方時(shí),②當(dāng)點(diǎn)P在直線AB下方時(shí),分別求出符合條件點(diǎn)P的坐標(biāo)即可.
試題解析:(1)把點(diǎn)A(﹣3,0),B(0,3)代入得:,解得:,∴拋物線的解析式是;
(2)如圖1:過點(diǎn)B作CB⊥AB,交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)C,過點(diǎn)C作CE⊥y軸,垂足為點(diǎn)E,∵,∴拋物線對(duì)稱軸為直線x=﹣1,∴CE=1,∵AO=BO=1,∴∠ABO=45°,∴∠CBE=45°,∴BE=CE=1,∴OE=OB+BE=4,∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(﹣1,4);
(3)假設(shè)在在拋物線上存在點(diǎn)P,使得△APB的面積等于3,如圖2:連接PA,PB,過P作PD⊥AB于點(diǎn)D,作PF∥y軸交AB于點(diǎn)F,在Rt△OAB中,易求AB==,∵S△APB=3,∴PD=,∵∠PFD=∠ABO=45°,∴PF=,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,),∵A(﹣3,0),B(0,3),∴直線AB的解析式為,∴可設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(m,m+3),
①當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上方時(shí),可得:,解得:m=﹣1或﹣2,∴符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為(﹣1,4)或(﹣2,3),
②當(dāng)點(diǎn)P在直線AB下方時(shí),可得:,解得:m=或,∴符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為(,)或(,);
綜上可知符合條件的點(diǎn)P有4個(gè),坐標(biāo)分別為:(﹣1,4)或(﹣2,3)或(,)或(,).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)軸上表示—4的點(diǎn)在原點(diǎn)的( )
A.右側(cè)
B.左側(cè)
C.原點(diǎn)上
D.不能確定
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列各題正確的是( )
A.由7x=4x﹣3移項(xiàng)得7x﹣4x=3
B.由 =1+ 去分母得2(2x﹣1)=1+3(x﹣3)
C.由2(2x﹣1)﹣3(x﹣3)=1去括號(hào)得4x﹣2﹣3x﹣9=1
D.由2(x+1)=x+7去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得x=5
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】計(jì)算下列各題:
(1)2(m+1)2﹣(2m+1)(2m﹣1);
(2)4x2﹣(﹣2x+3)(﹣2x﹣3);
(3)先化簡(jiǎn),再求值:[(x+2y)2﹣(x+y)(3x﹣y)﹣5y2]÷2x,其中x=﹣2,y= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O為原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣6,0).如圖1,正方形OBCD的頂點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上,點(diǎn)C在第二象限.現(xiàn)將正方形OBCD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α得到正方形OEFG.
(1)如圖2,若α=60°,OE=OA,求直線EF的函數(shù)表達(dá)式;
(2)若α為銳角,tanα=,當(dāng)AE取得最小值時(shí),求正方形OEFG的面積;
(3)當(dāng)正方形OEFG的頂點(diǎn)F落在y軸上時(shí),直線AE與直線FG相交于點(diǎn)P,△OEP的其中兩邊之比能否為:1?若能,求點(diǎn)P的坐標(biāo);若不能,試說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲是乙現(xiàn)在的年齡時(shí),乙8歲,乙是甲現(xiàn)在的年齡時(shí),甲26歲,那么( )
A. 甲比乙大6歲 B. 甲比乙大9歲
C. 乙比甲大18歲 D. 乙比甲大34歲
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,甲、乙、丙、丁四位同學(xué)給出了四種表示該長(zhǎng)方形面積的多項(xiàng)式: ①(2a+b)(m+n); ②2a(m+n)+b(m+n);
③m(2a+b)+n(2a+b); ④2am+2an+bm+bn,你認(rèn)為其中正確的有( 。
A.①②
B.③④
C.①②③
D.①②③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列各多項(xiàng)式中,能用公式法分解因式的是( )
A. a2-b2+2ab B. a2+b2+ab C. 25n2+15n+9 D. 4a2+12a+9
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