Question

【題目】在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2∠DAE=2α．

（1）如圖1，若點D關于直線AE的對稱點為F，求證：△ADF∽△ABC；

（2）如圖2，在（1）的條件下，若α=45°，求證：；

（3）如圖3，若α=45°，點E在BC的延長線上，則等式還能成立嗎？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）成立．

【解析】

試題分析：（1）根據軸對稱的性質可得∠EAF=∠DAE，AD=AF，再求出∠BAC=∠DAF，然后根據兩邊對應成比例，夾角相等兩三角形相似證明；

（2）根據軸對稱的性質可得EF=DE，AF=AD，再求出∠BAD=∠CAF，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△ACF全等，根據全等三角形對應邊相等可得CF=BD，全等三角形對應角相等可得∠ACF=∠B，然后求出∠ECF=90°，最后利用勾股定理證明即可；

（3）作點D關于AE的對稱點F，連接EF、CF，根據軸對稱的性質可得EF=DE，AF=AD，再根據同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△ACF全等，根據全等三角形對應邊相等可得CF=BD，全等三角形對應角相等可得∠ACF=∠B，然后求出∠ECF=90°，最后利用勾股定理證明即可．

試題解析：（1）∵點D關于直線AE的對稱點為F，∴∠EAF=∠DAE，AD=AF，又∵∠BAC=2∠DAE，∴∠BAC=∠DAF，∵AB=AC，∴，∴△ADF∽△ABC；

（2）∵點D關于直線AE的對稱點為F，∴EF=DE，AF=AD，∵α=45°，∴∠BAD=90°﹣∠CAD，∠CAF=∠DAE+∠EAF﹣∠CAD=45°+45°﹣∠CAD=90°﹣∠CAD，∴∠BAD=∠CAF，在△ABD和△ACF中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，∴△ABD≌△ACF（SAS），∴CF=BD，∠ACF=∠B，∵AB=AC，∠BAC=2α，α=45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得，，所以，；

（3）還能成立．

理由如下：作點D關于AE的對稱點F，連接EF、CF，由軸對稱的性質得，EF=DE，AF=AD，∵α=45°，∴∠BAD=90°﹣∠CAD，∠CAF=∠DAE+∠EAF﹣∠CAD=45°+45°﹣∠CAD=90°﹣∠CAD，∴∠BAD=∠CAF，在△ABD和△ACF中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，∴△ABD≌△ACF（SAS），∴CF=BD，∠ACF=∠B，∵AB=AC，∠BAC=2α，α=45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得，，所以，．