Question

【題目】如圖1，三個(gè)正方形ABCD、AEMN、CEFG，其中頂點(diǎn)D、C、G在同一條直線(xiàn)上，點(diǎn)E是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AC、AM.

（1）求證：△ACM∽△ABE.

（2）如圖2，連結(jié)BD、DM、MF、BF，求證：四邊形BFMD是平行四邊形.

（3）若正方形ABCD的面積為36，正方形CEFG的面積為4，求五邊形ABFMN的面積.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）74.

【解析】

(1)根據(jù)四邊形ABCD和四邊形AEMN都是正方形得，∠CAB=∠MAC=45°，∠BAE=∠CAM，可證△ACM∽△ABE；

（2）連結(jié)AC，由△ACM∽△ABE得∠ACM=∠B=90°，易證∠MCD=∠BDC=45°，得BD∥CM,由MC=BE，FC=CE，得MF=BD，從而可以證明四邊形BFMD是平行四邊形；

（3）根據(jù)S五邊形ABFMN=S正方形AEMN+S梯形ABFE+S三角形EFM求解即可.

（1）證明：∵四邊形ABCD和四邊形AEMN都是正方形，

∴，∠CAB=∠MAC=45°，

∴∠CAB-∠CAE=∠MAC-∠CAE，

∴∠BAE=∠CAM，

∴△ACM∽△ABE.

（2）證明：連結(jié)AC

因?yàn)?/span>△ACM∽△ABE，則∠ACM=∠B=90°，

因?yàn)?/span>∠ACB=∠ECF=45°，

所以∠ACM+∠ACB+∠ECF=180°，

所以點(diǎn)M,C,F在同一直線(xiàn)上，所以∠MCD=∠BDC=45°，

所以BD平行MF，

又因?yàn)?/span>MC=BE，F(xiàn)C=CE，

所以MF=BC=BD，

所以四邊形BFMD是平行四邊形

（3）S五邊形ABFMN=S正方形AEMN+S梯形ABFE+S三角形EFM

=62+42+（2+6）4+ 26

=74.