Question

【題目】已知點(diǎn)A、B分別是x軸、y軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C、D是某個(gè)函數(shù)圖象上的點(diǎn)，當(dāng)四邊形ABCD（A、B、C、D各點(diǎn)依次排列）為正方形時(shí)，稱(chēng)這個(gè)正方形為此函數(shù)圖象的伴侶正方形。如圖，正方形ABCD是一次函數(shù)y=x+1圖象的其中一個(gè)伴侶正方形．

（1）若某函數(shù)是一次函數(shù)y=x+1，求它的圖象的所有伴侶正方形的邊長(zhǎng)；

（2）若某函數(shù)是反比例函數(shù)（k>0），它的圖象的伴侶正方形為ABCD，點(diǎn)D（2，m）（m＜2）在反比例函數(shù)圖象上，求m的值及反比例函數(shù)解析式；

（3）若某函數(shù)是二次函數(shù)y=ax2+c（a≠0），它的圖象的伴侶正方形為ABCD，C、D中的一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4）．寫(xiě)出伴侶正方形在拋物線(xiàn)上的另一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)_____，寫(xiě)出符合題意的其中一條拋物線(xiàn)解析式_____，并判斷你寫(xiě)出的拋物線(xiàn)的伴侶正方形的個(gè)數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？_____．（本小題只需直接寫(xiě)出答案）

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）（﹣1，3）；（7，﹣3）；（﹣4，7）；（4，1）,對(duì)應(yīng)的拋物線(xiàn)分別為 ； ；,偶數(shù).

【解析】

（1）設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，當(dāng)點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸、點(diǎn)B在y軸正半軸上時(shí)，可知3a=，求出a，
（2）作DE、CF分別垂直于x、y軸，可知ADE≌△BAO≌△CBF，列出m的等式解出m，
（3）本問(wèn)的拋物線(xiàn)解析式不止一個(gè)，求出其中一個(gè)．

解：（1）∵正方形ABCD是一次函數(shù)y=x+1圖象的其中一個(gè)伴侶正方形．

當(dāng)點(diǎn)A在x軸正半軸、點(diǎn)B在y軸負(fù)半軸上時(shí)，

∴AO=1，BO=1，

∴正方形ABCD的邊長(zhǎng)為 ,

當(dāng)點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸、點(diǎn)B在y軸正半軸上時(shí)，

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，得3a=,

∴ ，

所以伴侶正方形的邊長(zhǎng)為或；

（2）作DE、CF分別垂直于x、y軸，

知△ADE≌△BAO≌△CBF，

此時(shí)，m＜2，DE=OA=BF=m

OB=CF=AE=2﹣m

∴OF=BF+OB=2

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（2﹣m，2），

∴2m=2（2﹣m）

解得m=1，

反比例函數(shù)的解析式為y= ，

（3）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，如圖所示：

過(guò)C作CF⊥x軸，垂足為F，過(guò)D作DE⊥CF，垂足為E，

∴△CED≌△DGB≌△AOB≌△AFC，

∵C（3，4），即CF=4，OF=3，

∴EG=3，DE=4，故DG=DE﹣GE=DE﹣OF=4﹣3=1，

則D坐標(biāo)為（﹣1，3）；

設(shè)過(guò)D與C的拋物線(xiàn)的解析式為：y=ax2+b，

把D和C的坐標(biāo)代入得： ，

解得 ，

∴滿(mǎn)足題意的拋物線(xiàn)的解析式為y=x2+ ；

同理可得D的坐標(biāo)可以為：（7，﹣3）；（﹣4，7）；（4，1），；

對(duì)應(yīng)的拋物線(xiàn)分別為 ； ；，

所求的任何拋物線(xiàn)的伴侶正方形個(gè)數(shù)為偶數(shù).