【題目】如圖,AB是半圓O的直徑,CD⊥AB于點(diǎn)C,交半圓于點(diǎn)E,DF切半圓于點(diǎn)F.已知∠AEF=135°.
(1)求證:DF∥AB;
(2)若OC=CE,BF= ,求DE的長.
【答案】
(1)證明:連接OF,
∵A、E、F、B四點(diǎn)共圓,
∴∠AEF+∠B=180°,
∵∠AEF=135°,
∴∠B=45°,
∴∠AOF=2∠B=90°,
∵DF切⊙O于F,
∴∠DFO=90°,
∵DC⊥AB,
∴∠DCO=90°,
即∠DCO=∠FOC=∠DFO=90°,
∴四邊形DCOF是矩形,
∴DF∥AB
(2)解:過E作EM⊥BF于M,
∵四邊形DCOF是矩形,
∴OF=DC=OA,
∵OC=CE,
∴AC=DE,
設(shè)DE=x,則AC=x,
∵在Rt△FOB中,∠FOB=90°,OF=OB,BF=2 ,由勾股定理得:OF=OB=2,
則AB=4,BC=4﹣x,
∵AC=DE,OCDF=CE,
∴由勾股定理得:AE=EF,
∴∠ABE=∠FBE,
∵EC⊥AB,EM⊥BF
∴EC=EM,∠ECB=∠M=90°,
在Rt△ECA和Rt△EMF中
∴Rt△ECA≌Rt△EMF,
∴AC=MF=DE=x,
在Rt△ECB和Rt△EMB中,由勾股定理得:BC=BM,
∴BF=BM﹣MF=BC﹣MF=4﹣x﹣x=2 ,
解得:x=2﹣ ,
即DE=2﹣ .
【解析】(1)證明:連接OF,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠AEF+∠B=180°,由于∠AEF=135°,得出∠B=45°,于是得到∠AOF=2∠B=90°,由DF切⊙O于F,得到∠DFO=90°,由于DC⊥AB,得到∠DCO=90°,于是結(jié)論可得;(2)過E作EM⊥BF于M,由四邊形DCOF是矩形,得到OF=DC=OA,由于OC=CE,推出AC=DE,設(shè)DE=x,則AC=x,在Rt△FOB中,∠FOB=90°,OF=OB,BF=2 ,由勾股定理得:OF=OB=2,則AB=4,BC=4﹣x,由于AC=DE,OCDF=CE,由勾股定理得:AE=EF,通過Rt△ECA≌Rt△EMF,得出AC=MF=DE=x,在Rt△ECB和Rt△EMB中,由勾股定理得:BC=BM,問題可得.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用切線的性質(zhì)定理,掌握切線的性質(zhì):1、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑即可以解答此題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是O的直徑,AE交O于點(diǎn)E,且與O的切線CD互相垂直,垂足為D.
(1)求證:∠EAC=∠CAB;
(2)若CD=4,AD=8:①求O的半徑;②求tan∠BAE的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】南沙群島是我國固有領(lǐng)土,現(xiàn)在我南海漁民要在南沙某海島附近進(jìn)行捕魚作業(yè),當(dāng)漁船航行至B處時(shí),測得該島位于正北方向20(1+ )海里的C處,為了防止某國海巡警干擾,就請求我A處的漁監(jiān)船前往C處護(hù)航,已知C位于A處的北偏東45°方向上,A位于B的北偏西30°的方向上,求A、C之間的距離.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在密碼學(xué)中,直接可以看到內(nèi)容為明碼,對明碼進(jìn)行某種處理后得到的內(nèi)容為密碼.有一種密碼,將英文的26個字母a、b、c,…,z依次對應(yīng)1、2、3,…,26這26個自然數(shù)(見表格),當(dāng)明碼對應(yīng)的序號x為奇數(shù)時(shí),密碼對應(yīng)的序號 ;當(dāng)明碼對應(yīng)的序號x為偶數(shù)時(shí),密碼對應(yīng)的序號 .
字母 | a | b | c | d | e | f | g | h | i | j | k | l | m |
序號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
字母 | n | o | p | q | r | s | t | u | v | w | x | y | z |
序號 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 |
按上述規(guī)定,將明碼“bird”譯成密碼是( )
A.bird
B.nove
C.sdri
D.nevo
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線 y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)A(-3,0)、B(1,0)、C(-2,1),交y軸于點(diǎn)M.
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)D為拋物線在第二象限部分上的一點(diǎn),作DE垂直x軸于點(diǎn)E,交線段AM于點(diǎn)F,求線段DF長度的最大值,并求此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)拋物線上是否存在一點(diǎn)P,作PN垂直x軸于點(diǎn)N,使得以點(diǎn)P、A.N為頂點(diǎn)的三角形與△MAO相似?若存在,求點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一堂關(guān)于“折紙問題”的數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐探究課中,小明同學(xué)將一張矩形ABCD紙片,按如圖進(jìn)行折疊,分別在BC、AD兩邊上取兩點(diǎn)E,F(xiàn),使CE=AF,分別以DE,BF為對稱軸將△CDE與△ABF翻折得到△C′DE與△A′BF,且邊C′E與A′B交于點(diǎn)G,邊A′F與C′D交于一點(diǎn)H.已知tan∠EBG= ,A′G=6,C′G=1,則矩形紙片ABCD的周長為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,如圖①,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,點(diǎn)P為線段BC上的一動點(diǎn)(不運(yùn)動到C,B兩點(diǎn))過點(diǎn)P作PQ⊥BC交AB于點(diǎn)Q,在AC邊上取一點(diǎn)D,使QD=QP,連結(jié)DP,設(shè)CP=x
(1)求QP的長,用含x的代數(shù)式表示.
(2)當(dāng)x為何值時(shí),△DPQ為直角三角形?
(3)記點(diǎn)D關(guān)于直線PQ的對稱點(diǎn)為點(diǎn)D′.
①當(dāng)點(diǎn)D′落在AB邊上時(shí),求x的值;
②在①的條件下,如圖②,將此時(shí)的△DPQ繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個角度α(0°<α<∠DPB),在旋轉(zhuǎn)過程中,設(shè)DP所在的直線與直線AB交于點(diǎn)M,與直線AC交于點(diǎn)N,是否存在這樣的M,N兩點(diǎn),使△AMN為等腰三角形?若存在,求出此時(shí)AN的長;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知E、F分別是ABCD的邊BC、AD上的點(diǎn),且BE=DF.
(1)求證:四邊形AECF是平行四邊形;
(2)若四邊形AECF是菱形,且BC=10,∠BAC=90°,求BE的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2016年3月,成都市某區(qū)一周天氣質(zhì)量報(bào)告中某項(xiàng)污染指標(biāo)的數(shù)據(jù)是:60,60,100,90,90,70,90,則下列關(guān)于這組數(shù)據(jù)表述正確的是( )
A.眾數(shù)是60
B.中位數(shù)是100
C.平均數(shù)是78
D.極差是40
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