【題目】已知,如圖①,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,點P為線段BC上的一動點(不運動到C,B兩點)過點P作PQ⊥BC交AB于點Q,在AC邊上取一點D,使QD=QP,連結(jié)DP,設(shè)CP=x
(1)求QP的長,用含x的代數(shù)式表示.
(2)當x為何值時,△DPQ為直角三角形?
(3)記點D關(guān)于直線PQ的對稱點為點D′.
①當點D′落在AB邊上時,求x的值;
②在①的條件下,如圖②,將此時的△DPQ繞點P順時針旋轉(zhuǎn)一個角度α(0°<α<∠DPB),在旋轉(zhuǎn)過程中,設(shè)DP所在的直線與直線AB交于點M,與直線AC交于點N,是否存在這樣的M,N兩點,使△AMN為等腰三角形?若存在,求出此時AN的長;若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)
解:如圖1中,
∵PQ⊥BC,
∴∠QPB=∠C=90°,
∴PQ∥AC,
∴ = ,
∴ = ,
∴PQ= (4﹣x)
(2)
解:因為△DPQ為直角三角形,由題意只有∠DQP=90°,如圖2中,
∵∠DQP=∠C=∠QPC=90°,
∴四邊形PCDQ是矩形,
∵DQ=PQ,
∴四邊形PCDQ是正方形,
∵∴PQ∥AC,
∴ = ,
∴ = ,
∴x= ,
∴當x= 時,△PDQ是直角三角形.
(3)
解:①當點D′落在AB邊上時,如圖3中,設(shè)PQ與DD′交于點H.作 于M.
∵∠QHD′=∠C=90°,∠HD′Q=∠B,
∴△QHD′∽△ACB,
∴ = ,
∵D′M∥AC,
∴ = ,
∴ = ,
∴D′M=3﹣ x,
∴QH=PQ﹣PH=3﹣ x﹣3+ x= x,
∴ = ,
∴x= .
∴x= 時,點D′落在AB邊上.
②由題意只有旋轉(zhuǎn)到如圖位置時,△AMN是等腰三角形,此時AN=AM.
作PH⊥AB于H,
∵PC= ,
∴PB=BC﹣PC=4﹣ = ,
∵sin∠ABC= = ,
∴ = ,
∴PH= ,
∴PC=PH,∵PC⊥AC,PH⊥AB,
∴PA平分∠BAC,
∵AN=AM,
∴AP⊥MN,
∵∠PAC=∠PAN,∠ACP=∠APN,
∴△ACP∽△APN,
∴ = ,
∴ = ,
∴AN= .
【解析】(1)由PQ∥AC,得 = ,列出方程即可解決問題.(2)因為△DPQ為直角三角形,由題意只有∠DQP=90°,如圖2中,首先證明四邊形PCDQ是正方形,由PQ∥AC,得 = ,列出方程即可解決問題.(3)①當點D′落在AB邊上時,如圖3中,設(shè)PQ與DD′交于點H.作 于M.由△QHD′∽△ACB,得 = ,由D′M∥AC,得到 = ,求出D′M,列出方程即可解決問題.
②由題意只有旋轉(zhuǎn)到如圖位置時,△AMN是等腰三角形,此時AN=AM.首先證明PA平分∠BAC,再根據(jù)△ACP∽△APN,得 = ,列出方程即可解決問題.
【考點精析】本題主要考查了比例的性質(zhì)的相關(guān)知識點,需要掌握基本性質(zhì);更比性質(zhì)(交換比例的內(nèi)項或外項);反比性質(zhì)(交換比的前項、后項);等比性質(zhì)才能正確解答此題.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線y=﹣x2+2x經(jīng)過原點O,且與直線y=x﹣2交于B,C兩點.
(1)求拋物線的頂點A的坐標及點B,C的坐標;
(2)求證:∠ABC=90°;
(3)在直線BC上方的拋物線上是否存在點P,使△PBC的面積最大?若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由;
(4)若點N為x軸上的一個動點,過點N作MN⊥x軸與拋物線交于點M,則是否存在以O(shè),M,N為頂點的三角形與△ABC相似?若存在,請求出點N的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖①,已知矩形ABCD中,AB=60cm,BC=90cm.點P從點A出發(fā),以3cm/s的速度沿AB運動:同時,點Q從點B出發(fā),以20cm/s的速度沿BC運動.當點Q到達點C時,P、Q兩點同時停止運動.設(shè)點P、Q運動的時間為t(s).
(1)當t=s時,△BPQ為等腰三角形;
(2)當BD平分PQ時,求t的值;
(3)如圖②,將△BPQ沿PQ折疊,點B的對應(yīng)點為E,PE、QE分別與AD交于點F、G.探索:是否存在實數(shù)t,使得AF=EF?如果存在,求出t的值:如果不存在,說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是半圓O的直徑,CD⊥AB于點C,交半圓于點E,DF切半圓于點F.已知∠AEF=135°.
(1)求證:DF∥AB;
(2)若OC=CE,BF= ,求DE的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】一個不透明的袋里裝有2個紅球,1個白球,1個黃球,它們除顏色外其余都相同.
(1)求從袋中摸出一個球是黃球的概率.
(2)摸出一個球,記下顏色后不放回,攪拌均勻,再摸出1個球,求兩次摸出的球恰好顏色不同的概率(要求畫樹狀圖或列表).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1,對△ABC,D是BC邊上一點,連結(jié)AD,當 = 時,稱AD為BC邊上的“平方比線”.同理AB和AC邊上也存在類似的“平方比線”.
(1)如圖2,△ABC中,∠BAC=RT∠,AD⊥BC于D.
證明:AD為BC邊上的“平方比線”;
(2)如圖3,在平面直角坐標系中,B(﹣4,0),C(1,0),在y軸的正半軸上找一點A,使OA是△ABC中BC邊上的“平方比線”.
①求出點A的坐標;
②如圖4,以M( ,0)為圓心,MA為半徑作圓,在⊙M上任取一點P(與x軸交點除外)嗎,連結(jié)PB,PC,PO.求證:PO始終是△PBC中BC邊上的“平方比線”.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=x2﹣2x﹣3,點P在該函數(shù)的圖象上,點P到x軸、y軸的距離分別為d1、d2 . 設(shè)d=d1+d2 , 下列結(jié)論中:
①d沒有最大值;
②d沒有最小值;
③﹣1<x<3時,d隨x的增大而增大;
④滿足d=5的點P有四個.
其中正確結(jié)論的個數(shù)有( )
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A(﹣1,0)、B(3,0)兩點.
(1)求拋物線的解析式和頂點坐標;
(2)當0<x<3時,求y的取值范圍;
(3)點P為拋物線上一點,若S△PAB=10,求出此時點P的坐標.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象的一部分,對稱軸為x= ,且經(jīng)過點(2,0),有下列說法:①abc<0;②a+b=0;③4a+2b+c<0;④若(0,y1),(1,y2)是拋物線上的兩點,則y1=y2 . 上述說法正確的是( )
A.①②④
B.③④
C.①③④
D.①②
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