Question

【題目】如圖，點(diǎn)P為△ABC的內(nèi)心，延長(zhǎng)AP交△ABC的外接圓于D，在AC延長(zhǎng)線上有一點(diǎn)E，滿足AD2=ABAE．
求證：DE是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】證明：連接DC，DO并延長(zhǎng)交⊙O于F，連接AF．

∵P點(diǎn)為△ABC的內(nèi)心，

∴∠BAD=∠DAE，

又∵AD2=ABAE，即 = ，

∴△BAD∽△DAE，

∴∠ADB=∠E．

又∵∠ADB=∠ACB，

∴∠ACB=∠E，BC∥DE，

∴∠CDE=∠BCD=∠BAD=∠DAC，

又∵∠CAF=∠CDF，

∴∠FDE=∠CDE+∠CDF=∠DAC+∠CAF=∠DAF=90°，

故DE是⊙O的切線．

【解析】由P點(diǎn)為△ABC的內(nèi)心，得到∠BAD=∠DAE，又AD2=ABAE，得到△BAD∽△DAE，∠ADB=∠E，又∠ADB=∠ACB，得到∠ACB=∠E，BC∥DE，∠CDE=∠BCD=∠BAD=∠DAC，又∠CAF=∠CDF，得到∠FDE=∠CDE+∠CDF=∠DAC+∠CAF=∠DAF=90°，故DE是⊙O的切線．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解切線的判定定理的相關(guān)知識(shí)，掌握切線的判定方法：經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，以及對(duì)相似三角形的判定與性質(zhì)的理解，了解相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．