【題目】已知:拋物線C1:y=x2﹣2a x+2a+2 頂點(diǎn)P在另一個(gè)函數(shù)圖象C2
(1)求證:拋物線C1必過(guò)定點(diǎn)A(1,3);并用含的a式子表示頂點(diǎn)P的坐標(biāo);
(2)當(dāng)拋物線C1的頂點(diǎn)P達(dá)到最高位置時(shí),求拋物線C1解析式;并判斷是否存在實(shí)數(shù)m、n,當(dāng)m≤x≤n時(shí)恰有3m≤y≤3n,若存在,求出求m、n的值;若不存在,說(shuō)明理由;
(3)拋物線C1和圖象C2分別與y軸交于B、C點(diǎn),當(dāng)△ABC為等腰三角形,求a的值.

【答案】
(1)解:∵當(dāng)x=1時(shí),y=1﹣2a+2a+2=3,

∴拋物線C1必過(guò)定點(diǎn)A(1,3),

∵拋物線C1:y=x2﹣2ax+2a+2=(x﹣a)2﹣a 2+2a+2,

∴頂點(diǎn)P(a,﹣a 2+2a+2)


(2)解:∵yP=﹣a 2+2a+2=﹣(a﹣1)2+3≤3

∴當(dāng)a=1時(shí),P達(dá)到最高位置(1,3)

此時(shí)拋物線C1解析式為y=x2﹣2x+4,

∴y=x2﹣2x+4=(x﹣1)2+3≥3,

∵當(dāng)m≤x≤n時(shí)恰有3m≤y≤3n,

∴3≤3m≤y≤3n,

∴1≤m≤n,

∴當(dāng)1≤m≤x≤n,y隨x的增大而增大,

∴當(dāng)x=m時(shí),y=3m,當(dāng)x=n時(shí),y=3n,

解得: ,

∵1≤m≤n,

∴m=1、n=4;


(3)解:∵拋物線C1:y=x2﹣2ax+2a+2與y軸交于B點(diǎn)

∴B(0,2a+2)

∵函數(shù)yP=﹣x 2+2x+2圖象C2與y軸交于C點(diǎn)

∴C(0,2)

∵A(1,3)

∴由勾股定理得AC= ,BC=|2a|,AB2=(2a﹣1)2+1

∵△ABC為等腰三角形,

∴①AC=BC ②BC2=AB2 ③AC2=AB2

=|2a|或4a2=(2a﹣1)2+1或2=(2a﹣1)2+1,

或a=1或a=0(B與C重合,舍去),

即a=± 或a= 或a=1


【解析】(1)因?yàn)楫?dāng)x=1時(shí),拋物線的值是3,所以拋物線C1必過(guò)定點(diǎn)A(1,3),用配方法寫(xiě)出拋物線的頂點(diǎn)式即可;(2)根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)式得出P點(diǎn)達(dá)到最高位置的坐標(biāo),求出拋物線C1的解析式,通過(guò)分析討論求出m、n的值;(3)由拋物線C1與y軸交于B點(diǎn),得到B點(diǎn)坐標(biāo)的表達(dá)式,由拋物線C2與y軸交于C點(diǎn),得到C點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)勾股定理求出AC、BC、AB2的值,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì),△ABC為等腰三角形求出a的值,此題是綜合題,難度較大,計(jì)算和解方程時(shí)需認(rèn)真仔細(xì).

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A.3
B.4
C.5
D.6

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(1)計(jì)算甲、乙兩車的速度及a的值;
(2)乙車到達(dá)B地后以原速立即返回.
①在圖中畫(huà)出乙車在返回過(guò)程中離A地的距離S(km)與時(shí)間t(h)的函數(shù)圖象;
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(1)求甲、乙兩種型號(hào)的機(jī)器人每臺(tái)的價(jià)格各是多少萬(wàn)元;

(2)已知甲型、乙型機(jī)器人每臺(tái)每小時(shí)分揀快遞分別是件、件,該公司計(jì)劃最多用萬(wàn)元購(gòu)買臺(tái)這兩種型號(hào)的機(jī)器人.該公司該如何購(gòu)買,才能使得每小時(shí)的分揀量最大?

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1)求去年購(gòu)買的文學(xué)書(shū)和科普書(shū)的單價(jià)各是多少元?

2)若今年文學(xué)書(shū)的單價(jià)比去年提高了25%,科普書(shū)的單價(jià)與去年相同,為了普及科普知識(shí),書(shū)店舉辦了每買三本科普書(shū)就贈(zèng)一本文學(xué)書(shū)的優(yōu)惠活動(dòng),這所中學(xué)今年計(jì)劃在優(yōu)惠活動(dòng)期間,再購(gòu)進(jìn)文學(xué)書(shū)和科普書(shū)共200本,且購(gòu)買文學(xué)書(shū)和科普書(shū)的總費(fèi)用不超過(guò)1880元,這所中學(xué)今年最多能購(gòu)進(jìn)多少本文學(xué)書(shū)?

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A.
B.
C.
D.

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