【題目】如圖①,在等邊三角形ABC中.D是AB邊上的動點,以CD為一邊,向上作等邊三角形EDC.連接AE.
(l)求證:△DBC≌△EAC
(2)試說明AE∥BC的理由.
(3)如圖②,當(dāng)圖①中動點D運(yùn)動到邊BA的延長線上時,所作仍為等邊三角形,猜想是否仍有AE∥BC?若成立請證明.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)仍有AE∥BC,理由見解析
【解析】試題分析:(1)根據(jù)△ABC與△EDC是等邊三角形,利用其三邊相等和三角相等的關(guān)系,求證∠BCD=∠ACE.然后即可證明結(jié)論;
(2)根據(jù)ACE≌△BCD,可得∠ABC=∠CAE=60°,利用等量代換求證∠CAE=∠ACB即可.
(3)證明△DBC≌△EAC可推出∠EAC=∠ACB,由此可證.
試題解析:(1)∵∠ACB=60, ∠DCE=60,
∴∠BCD=60-∠ACD, ∠ACE=60-∠ACD,
即∠BCD=∠ACE,
在△DBC和△EAC中,
,
∴△DBC≌△EAC(SAS);
(2) ∵△DBC≌△EAC,
∴∠EAC=∠B=60,
又∵∠ACB=60,
∴∠EAC=∠ACB,
∴AE∥BC;
(3)仍有AE∥BC,
∵△ABC,△EDC都為等邊三角形,
∴BC=AC, DC=CE, ∠BCA=∠DCE=60,
∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD,
即∠BCD=∠ACE,
在△DBC和△EAC中,
,
∴△DBC和△EAC(SAS),
∴∠EAC=∠B=60,
又∵∠ACB=60,
∴∠EAC=∠ACB,
∴AE∥BC.
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