Question

【題目】“如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是△ABC的高，則△ACD與△CBD相似嗎？”于是，學(xué)生甲發(fā)現(xiàn)CD2=AD·BD也成立．

問(wèn)題1：請(qǐng)你證明CD2=AD·BD；

學(xué)生乙從CD2=AD·BD中得出：可以畫(huà)出兩條已知線(xiàn)段的比例中項(xiàng)．

問(wèn)題2：已知兩條線(xiàn)段AB、BC在x軸上，如圖2：請(qǐng)你用直尺（無(wú)刻度）和圓規(guī)作出這兩條線(xiàn)段的比例中項(xiàng)．要求保留作圖痕跡，不要寫(xiě)作法，最后指出所要作的線(xiàn)段．

學(xué)生丙也從CD2=AD·BD中悟出了矩形與正方形的等積作法．

問(wèn)題3：如圖3，已知矩形ABCD，請(qǐng)你用直尺（無(wú)刻度）和圓規(guī)作出一個(gè)正方形BMNP，使得S正方形BMNP=S矩形ABCD．要求：保留作圖痕跡；簡(jiǎn)要寫(xiě)出作圖每個(gè)步驟的要點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析;（2）作圖見(jiàn)解析,CD為所要畫(huà)的線(xiàn)段;（3）過(guò)程見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：?jiǎn)栴}1：只要證明△ACD∽△CBD，可得，即可證明；

問(wèn)題2：如圖2中，作AC的中點(diǎn)K，以K為圓心KA為半徑作⊙K交y軸正半軸于D．線(xiàn)段BD為所要畫(huà)的線(xiàn)段；

問(wèn)題3：①延長(zhǎng)AB至E，使得BE=BC；②以AE為直徑，畫(huà)半圓O，與BC的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于M③以BM為邊做正方形BMNP．正方形BMNP即為所求；

試題解析：問(wèn)題1:證明：如圖1中，

∵CD⊥AB，∠ACB=90°，

∴∠ADC=∠CDB=90°，

∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，

∴∠ACD=∠B，

∴△ACD∽△CBD，

∴，

∴CD2=ADBD.

問(wèn)題2:如圖2中，作AC的中點(diǎn)K，以K為圓心KA為半徑作⊙K交y軸正半軸于D.

線(xiàn)段BD為所要畫(huà)的線(xiàn)段。

問(wèn)題3:①延長(zhǎng)AB至E，使得BE=BC；

②以AE為直徑，畫(huà)半圓O，與BC的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于M

③以BM為邊做正方形BMNP.

正方形BMNP即為所求。