Question

【題目】背景閱讀：我們在教材24.3已經知道了直角三角形中銳角的三角函數(shù)的概念，類似地，我們在等腰三角形中建立邊角之間的關系，即等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對，記作：sad．如圖1，在△ABC中，AB=AC，頂角A的正對記作：sadA，這時sadA== ．

問題解決：

（1）若頂角A=60°，求sadA的值；

（2）若90°＜∠A＜180°，求∠A的正對sadA的取值范圍；

合作交流：

（3）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若sinA=，試求以AC為腰的等腰三角形中，頂角A的正對sadA的值．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）＜sad∠BAC＜2；（3）.

【解析】分析：（1）先判斷出△ABC是等邊三角形，進而得出BC=AC，即可得出結論；

（2）先判斷出＜sin∠BAD＜1，進而得出＜＜2，即可得出結論；

（3）先設出BC=3a，得出AB=5a，AC=4a，進而得出AE=AC=4a，再判斷出△AEF∽△ABC，得出EF=a，AF=a，進而表示出CF=AC﹣AF=a，利用勾股定理得出CE=a即可得出結論．

詳解：（1）∵等腰三角形的頂角A=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴BC=AC，∴sadA==1；

（2）如答圖2，過點A作AD⊥BC于D．∵AB=AC，∴BC=2BD．∵90°＜∠BAC＜180°，∴45°＜∠BAD＜90°，∴＜sin∠BAD＜1．在Rt△ABD中，sin∠BAD=＜＜1，∴＜＜2，∴＜＜2，在等腰△ABC中，sad∠BAC=＜sad∠BAC＜2；

（3）如答圖3．在Rt△ABC中，sinA==，設BC=3a，則AB=5a，根據勾股定理得：AC=4a，∴AE=AC=4a，過點E作EF⊥AC于F．∵∠ACB=90°，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴，∴EF=a，AF=a，∴CF=AC﹣AF=a．在Rt△CEF中，CE==a，∴sadA===．