1.如圖,⊙O的半徑為1,A、P、B、C是⊙O上的四個(gè)點(diǎn).∠APC=∠CPB=60°.則四邊形APBC的最大面積是√3.

分析 過(guò)C作直徑CP′,連接P′A、P′B,如圖,先利用圓周角定理得到∠ABC=∠APC=60°,∠BAC=∠CPB=60°,則可判斷△ABC為等邊三角形,再利用圓周角定理得到∠CAP′=∠CBP′=90°,利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到P′A=P′B=$\frac{1}{2}$CP′=1,AC=BC=$\sqrt{3}$,所以四邊形AP′BC的面積為$\sqrt{3}$,由于點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P′的位置時(shí),四邊形APBC的最大面積,從而得到四邊形APBC的最大面積.

解答 解:過(guò)C作直徑CP′,連接P′A、P′B,如圖,
∵∠ABC=∠APC=60°,∠BAC=∠CPB=60°,
∴△ABC為等邊三角形,
∵CP′為直徑,
∴∠CAP′=∠CBP′=90°,
而∠AP′C=∠APC=60°,∠BP′C=∠BPC=60°,
∴P′A=P′B=$\frac{1}{2}$CP′=1,AC=BC=$\sqrt{3}$,
∴四邊形AP′BC的面積為2×$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$,
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P′的位置時(shí),四邊形APBC的最大面積,即四邊形APBC的最大面積為$\sqrt{3}$.
故答案為$\sqrt{3}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓周角定理:在同圓或等圓中,同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等,都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.推論:半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角,90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑.

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