【題目】閱讀以下材料,并按要求完成相應(yīng)的任務(wù):

萊昂哈德·歐拉(Leonhard Euler)是瑞士數(shù)學(xué)家,在數(shù)學(xué)上經(jīng)常見到以他的名字命名的重要常數(shù)、公式和定理,下面是歐拉發(fā)現(xiàn)的一個定理:在ABC 中,R r 分別為外接圓和內(nèi)切圓的半徑,O I 分別為其外心和內(nèi)心,則OI R2Rr .

下面是該定理的證明過程(借助了第(2)問的結(jié)論):

延長AI 交⊙O 于點 D,過點 I 作⊙O 的直徑 MN,連接 DMAN.

∵∠D=N,∴∠DMI=NAI(同弧所對的圓周角相等),

∴△MDI∽△ANI.,∴ IA ID IM IN

如圖②,在圖 1(隱去 MD,AN)的基礎(chǔ)上作⊙O 的直徑DE,連接BE,BDBI,IF

DE 是⊙O 的直徑,∴∠DBE=90°.

∵⊙I AB 相切于點 F,∴∠AFI=90°,

∴∠DBE=IFA.

∵∠BAD=E(同弧所對圓周角相等),

∴△AIF∽△EDB

,∴②,

由(2)知:,

又∵,

2Rr(R d )(R d )

R d 2Rr

d R 2Rr

任務(wù):(1)觀察發(fā)現(xiàn): IM R d , IN (用含R,d 的代數(shù)式表示);

2)請判斷 BD ID 的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.(請利用圖 1 證明)

3)應(yīng)用:若ABC 的外接圓的半徑為 6cm,內(nèi)切圓的半徑為 2cm,則ABC 的外心與內(nèi)心之間的距離為   cm

【答案】1 (2),證明見解析 3

【解析】

1)根據(jù)線段的差求解即可;

2)根據(jù)點I是△ABC的內(nèi)心,推出,進而根據(jù)外角性質(zhì)以及圓周角定理得到,即可得證

3)利用(1)和(2)的結(jié)論可得,進而得出,再代入求值即可.

1)∵IM R d

;

2

I是△ABC的內(nèi)心

;

3)由(2)知

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在四邊形 ABCD 中,E BC 邊中點.

)已知:如圖,若 AE 平分BADAED=90°,點 F AD 上一點,AF=AB.求證:(1ABEAFE;(2AD=AB+CD

)已知:如圖,若 AE 平分BAD,DE 平分ADC,AED=120°,點 FG 均為 AD上的點,AF=ABGD=CD.求證:(1GEF 為等邊三角形;(2AD=AB+ BC+CD.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知:關(guān)于的函數(shù)的圖象與坐標軸只有兩個不同的交點、,點坐標為,則的面積為_____

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,∠BAC的平分線交⊙O于點D

I)如圖①,若BC是⊙O的直徑,BC4,求BD的長;

)如圖②,若∠ABC的平分線交AD于點E,求證:DEDB

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某校開展主題為“垃圾分類,綠色生活新時尚”的宣傳活動,為了解學(xué)生對垃圾分類知識的掌握情況,學(xué)生會隨機抽取了20名七、八年級學(xué)生(每個年級各10人)進行問卷調(diào)查,并把他們的得分繪制成了如下表格,計分采用10分制(得分均取整數(shù))成績達到6分或6分以上為及格,達到9分及以上為優(yōu)秀,成績?nèi)绫?/span>1所示,并制作了成績分析表(表2).

1

七年級

5

8

8

8

10

10

8

5

5

八年級

10

6

6

9

4

5

7

10

8

2

年級

平均數(shù)

中位數(shù)

眾數(shù)

方差

及格率

優(yōu)秀率

七年級

7.6

8

8

3.82

70%

八年級

7.5

10

4.94

80%

40%

1)在表1中,_____,_____;在表2中,_____,______;

2)根據(jù)表2成績數(shù)據(jù)分析,你認為哪個年級的學(xué)生對垃圾分類了解更加深入,請說明你的理由;

3)小明根據(jù)表2數(shù)據(jù)作出如下判斷:

①七年級學(xué)生成績的平均數(shù)高于八年級,故七年級學(xué)生一定比八年級學(xué)生優(yōu)秀;

②被調(diào)查對象中,七年級學(xué)生的成績更加穩(wěn)定;

③學(xué)校七年級和八年級共有400人,估計有280人成績達到優(yōu)秀;

④七年級不及格人數(shù)比八年級多;

對小明的四個結(jié)論,隨機任選兩個,求都是錯誤的概率.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】小明研究了這樣一道幾何題:如圖1,在中,把繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到,把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到,連接.當時,請問上的中線的數(shù)量關(guān)系是什么?以下是他的研究過程:

特例驗證:(1)①如圖2,當為等邊三角形時,猜想的數(shù)量關(guān)系為_______;②如圖3,當,時,則長為________

猜想論證:(2)在圖1中,當為任意三角形時,猜想的數(shù)量關(guān)系,并給予證明.

拓展應(yīng)用:(3)如圖4,在四邊形,,,,,在四邊形內(nèi)部是否存在點,使之間滿足小明探究的問題中的邊角關(guān)系?若存在,請畫出點的位置(保留作圖痕跡,不需要說明)并直接寫出的邊上的中線的長度;若不存在,說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】隨著通訊技術(shù)的迅猛發(fā)展,人與人之間的溝通方式更多樣、便捷某校數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計了你最喜歡的溝通方式調(diào)查問卷(每人必選且只選一種),在全校范圍內(nèi)隨機調(diào)查了部分學(xué)生,將統(tǒng)計結(jié)果繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請結(jié)合圖中所給的信息解答下列問題:

(1)這次統(tǒng)計共抽查了多少名學(xué)生?在扇形統(tǒng)計圖中,表示" "的扇形圓心角的度數(shù)是多少;

(2)將條形統(tǒng)計圖補充完整;

(3)該校共有1500名學(xué)生,請估計該校最喜歡用 “微信”進行溝通的學(xué)生大約有多少名?

(4)某天甲、乙兩名同學(xué)都想從微信"、""、電話"三種溝通方式中選一種方式與對方聯(lián)系,請用列表或畫樹狀圖的方法求出甲、乙兩名同學(xué)恰好選擇同一種溝通方式的概率.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,甲、乙只捕撈船同時從A港出海捕魚,甲船以每小時15 km的速度沿北偏西60°方向前進,乙船以每小時15 km的速度沿東北方向前進.甲船航行2 h到達C處,此時甲船發(fā)現(xiàn)漁具丟在了乙船上,于是甲船快速(勻速)沿北偏東75°的方向追趕乙船,結(jié)果兩船在B處相遇.問:

(1)甲船從C處出發(fā)追趕上乙船用了多少時間?

(2)甲船追趕乙船的速度是每小時多少千米?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】直線l1l2,l3,l4是同一平面內(nèi)的一組平行線.

1)如圖1,正方形ABCD4個頂點都在這些平行線上,若四條直線中相鄰兩條之間的距離都是1,其中點A,點C分別在直線l1l4上,求正方形的面積.

2)如圖2,正方形ABCD4個頂點分別在四條平行線上,若四條直線中相鄰兩條之間的距離依次為h1,h2,h3

①求證:h1h3

②設(shè)正方形ABCD的面積為S,求證:S2h12+2h1h2+h22

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