Question

【題目】已知：AB為⊙O的直徑，點C為弧AB的中點，點D為⊙O上一點，連接CD，交AB于點M，AE為∠DAM的平分線，交CD于點E．

（1）如圖1，連接BE，若∠ACD=22°，求∠MBE的度數(shù)；

（2） 如圖2，連接DO并延長，交⊙O于點F，連接AF，交CD于點N．

①求證：DM2+CN2=CM2；

②如圖3，當AD=1，AB=時，請直接寫出線段ME的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①見解析；②

【解析】

（1）由圓周角定理，得到∠CAB=∠ABC=∠ADC= 45°，由角平分線的定義和三角形的外角性質(zhì)，得到∠CAE=∠CEA，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理，即可求出答案；

（2）①根據(jù)題意，將△ADM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到，連接，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，△ADM≌△，得到DM=，然后證明△AC≌△MAC，得到=CM，利用勾股定理，即可得到結(jié)論成立；

②連接CF，由（1）可知AC=BC=CE，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出CE的長度，然后利用相似三角形的判定和性質(zhì)，得到線段的比，然后構(gòu)建方程，求出CM的長度，即可得到ME的長度．

（1）解：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵點C為弧AB中點，

∴=，

∴∠CAB=∠ABC=∠ADC= 45°，AC=BC

∴△ACB是等腰直角三角形

∵∠DAM的平分線，

∴∠MAE=∠EAD

∵∠CAE=∠CAB+∠MAE，∠CEA=∠ADC+∠EAD，

∴∠CAE=∠CEA，

∴AC=CE=BC

∴∠CBE=∠CBM+∠MBE=

∵∠ACD=22°，

又∵∠CBM=45°

∴∠MBE=；

（2）證明：將△ADM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到，連接，

∵DF是⊙O的直徑，

∴∠DAF=90°

∵∠ADC＝45°

∴△AND為等腰三角形，AD=AN

∴和AN重合

∴△ADM≌△ANM’

∴DM=，AM=，∠=∠ADC＝45°，

∵∠M’ AM=90°，∠CAB=45°，

∴∠=45°

∴△M’ AC≌△MAC（SAS），

∴=CM

∵∠M’NA=∠ADC＝∠AND＝45°，

∴∠M’ND＝∠M’NC＝90°，

∴M’ N2+ CN 2＝C M’ 2，

∴MD2+ CN 2＝C M2 ；

（3）如圖：連接CF，

∵AB與DF為直徑，AB=，AD=1，

∴∠DCF=90°，∠DAF=90°，

∴，

由（1）可知，△AND是等腰直角三角形，△ABC是等腰直角三角形，

∴AN=AD=1，∠AND=45°，AC=BC=CE=，

∴NF=3-1=2，

∴△CNF是等腰直角三角形，

∴CN=CF=，

∴，

∵∠AMD=∠CMB，∠ADM=∠CBM=45°，

∴△ADM∽△CBM，

∴，

∵，，

∴，

解得：,，

∴．