Question

【題目】如圖，直線y＝﹣x+3與x軸、y軸分別交于B、C兩點，經(jīng)過B、C兩點的拋物線y＝x2+bx+c與x軸的另一個交點為A，頂點為P．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）當0＜x＜3時，在拋物線上求一點E，使△CBE的面積有最大值；

（3）在該拋物線的對稱軸上是否存在點M，使以C、P、M為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，請寫出所符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）E（，﹣）；（3）（2，7）或（2，﹣1+2 ＝）或（2，﹣1﹣2）或（2，）

【解析】

（1）用直線表達式求出點B、C的坐標，將點B、C的坐標代入y＝x2+bx+c，即可求解；

（2）S△CBE＝HE×OB＝×3×（﹣x+3﹣x2+4x﹣3）＝（﹣x2+3x），即可求解；

（3）分CM＝CP、CP＝PM、CM＝PM三種情況，分別求解即可．

解：（1）y＝﹣x+3，令y＝0，則x＝3，令x＝0，則y＝3，

故點B、C的坐標為（3，0）、（0，3），

將點B、C的坐標代入y＝x2+bx+c并解得：b＝﹣4，

故拋物線的表達式為：y＝x2﹣4x+3，

令y＝0，則x＝1或3，故點A（1，0），點P（2，﹣1）；

（2）過點E作EH∥y軸交BC于點H，

設點E（x，x2﹣4x+3），則點H（x，﹣x+3）

S△CBE＝HE×OB＝×3×（﹣x+3﹣x2+4x﹣3）＝（﹣x2+3x），

∵﹣＜0，當x＝時，S△CBE有最大值，

點E（，﹣）；

（3）點C（0，3）、點P（2，﹣1），設點M（2，m），

CP2＝4+16＝20，CM2＝4+（m﹣3）2＝m2﹣6m+13，PM2＝m2+2m+1，

①當CM＝CP時，20＝m2﹣6m+13，解得：m＝7或﹣1（舍去m＝﹣1）；

②當CP＝PM時，同理可得：m＝﹣1±2；

③當CM＝PM時，同理可得：m＝；

故點M坐標為：（2，7）或（2，﹣1+2 ＝）或（2，﹣1﹣2）或（2，）．