【題目】如圖,四邊形ABCD是邊長為2的正方形,點G是BC延長線上一點,連接AG,點E、F分別在AG上,連接BE、DF,∠1=∠2,∠3=∠4.
(1)證明:△ABE≌△DAF;
(2)若∠AGB=30°,求EF的長.

【答案】
(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形,

∴AD=AB,

∵∠1=∠2,∠3=∠4,

∴△ABE≌△DAF.


(2)解:∵四邊形ABCD是正方形,∠AGB=30°,

∴AD∥BC,

∴∠1=∠AGB=30°,

∵∠1+∠4=∠DAB=90°,

∵∠3=∠4,

∴∠1+∠3=90°,

∴∠AFD=180°﹣(∠1+∠3)=90°,

∴DF⊥AG,

∴DF= AD=1,

∴AF= ,

∵△ABE≌△DAF,

∴AE=DF=1,

∴EF= ﹣1.

故所求EF的長為 ﹣1


【解析】(1)根據(jù)已知及正方形的性質,利用ASA即可判定△ABE≌△DAF;(2)根據(jù)正方形的性質及直角三角形的性質可得到DF的長,根據(jù)勾股定理可求得AF的長,從而就不難求得EF的長.
【考點精析】利用正方形的性質對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知正方形四個角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角;正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形;正方形的對角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形.

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